Страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

948. Равносильны ли неравенства:

1) $ \frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{3} < 1 $ и $ 3(x+1) + 2(x-1) < 1 $;

2) $ (x+3)(x^2+4) > 0 $ и $ x+3 > 0 $;

3) $ x-1 > 3 $ и $ x-1 + \frac{1}{x-5} > 3 + \frac{1}{x-5} $;

4) $ x+2 < 1 $ и $ x+2 + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x} $?

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить равносильность, найдем решения для каждой пары неравенств.

Решим первое неравенство. Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 6. Так как 6 > 0, знак неравенства сохранится:

$ 6 \cdot \left(\frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{3}\right) < 6 \cdot 1 $

$ 3(x+1) + 2(x-1) < 6 $

$ 3x + 3 + 2x - 2 < 6 $

$ 5x + 1 < 6 $

$ 5x < 5 $

$ x < 1 $

Множество решений первого неравенства: $ (-\infty; 1) $.

Решим второе неравенство:

$ 3(x+1) + 2(x-1) < 1 $

$ 3x + 3 + 2x - 2 < 1 $

$ 5x + 1 < 1 $

$ 5x < 0 $

$ x < 0 $

Множество решений второго неравенства: $ (-\infty; 0) $.

Так как множества решений $ (-\infty; 1) $ и $ (-\infty; 0) $ не совпадают, неравенства не равносильны.

Ответ: нет.

Решим первое неравенство $ (x+3)(x^2+4) > 0 $.

Выражение $ x^2 $ всегда неотрицательно ($ x^2 \ge 0 $), поэтому выражение $ x^2+4 $ всегда положительно ($ x^2+4 \ge 4 > 0 $) для любого действительного значения $ x $.

Так как $ x^2+4 $ всегда положительно, мы можем разделить обе части неравенства на $ x^2+4 $, не меняя знака неравенства:

$ \frac{(x+3)(x^2+4)}{x^2+4} > \frac{0}{x^2+4} $

$ x+3 > 0 $

$ x > -3 $

Множество решений первого неравенства: $ (-3; +\infty) $.

Решим второе неравенство $ x+3 > 0 $:

$ x > -3 $

Множество решений второго неравенства: $ (-3; +\infty) $.

Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, они равносильны.

Ответ: да.

Решим первое неравенство $ x-1 > 3 $:

$ x > 4 $

Множество решений первого неравенства: $ (4; +\infty) $. Область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства - все действительные числа ($ x \in \mathbb{R} $).

Решим второе неравенство $ x-1 + \frac{1}{x-5} > 3 + \frac{1}{x-5} $.

ОДЗ этого неравенства определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $.

На ОДЗ можно вычесть из обеих частей неравенства выражение $ \frac{1}{x-5} $:

$ x-1 > 3 $

$ x > 4 $

Решение второго неравенства должно удовлетворять системе: $ \begin{cases} x > 4 \\ x \neq 5 \end{cases} $.

Множество решений второго неравенства: $ (4; 5) \cup (5; +\infty) $.

Сравнивая множества решений $ (4; +\infty) $ и $ (4; 5) \cup (5; +\infty) $, видим, что они не совпадают. Число 5 является решением первого неравенства, но не является решением второго из-за ОДЗ. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: нет.

Решим первое неравенство $ x+2 < 1 $:

$ x < -1 $

Множество решений первого неравенства: $ (-\infty; -1) $. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Решим второе неравенство $ x+2 + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x} $.

ОДЗ этого неравенства: $ x \neq 0 $.

На ОДЗ вычтем из обеих частей неравенства $ \frac{1}{x} $:

$ x+2 < 1 $

$ x < -1 $

Решение второго неравенства должно удовлетворять системе: $ \begin{cases} x < -1 \\ x \neq 0 \end{cases} $.

Так как интервал $ (-\infty; -1) $ не содержит точку 0, условие $ x \neq 0 $ выполняется для всех $ x < -1 $. Таким образом, множество решений второго неравенства также $ (-\infty; -1) $.

Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, они равносильны.

Ответ: да.

949. Решите систему неравенств:

1) $$\begin{cases} x - 3 < 2x - 3, \\ 4x + 5 > 10 - x; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} 9 + 2x \leq 3x + 7, \\ x - 2 > 2x - 5; \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} (x - 5)^2 - 15 \geq (x - 3)(x - 4) - 50, \\ 4(x + 7) - 16 \geq 2 - x; \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} \frac{x - 1}{4} + \frac{x + 1,7}{3} \geq \frac{3x + 1}{5}, \\ \frac{x + 2}{4} - \frac{x + 8}{5} < \frac{3x - 1}{10}. \end{cases}$$

1)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x - 3 < 2x - 3, \\ 4x + 5 > 10 - x. \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$x - 3 < 2x - 3$

$x - 2x < -3 + 3$

$-x < 0$

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:

$x > 0$

Решаем второе неравенство:

$4x + 5 > 10 - x$

$4x + x > 10 - 5$

$5x > 5$

$x > 1$

Найдем пересечение решений $x > 0$ и $x > 1$. Общим решением является промежуток, удовлетворяющий обоим неравенствам. На числовой оси это будет область справа от 1.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 9 + 2x \le 3x + 7, \\ x - 2 > 2x - 5. \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$9 + 2x \le 3x + 7$

$2x - 3x \le 7 - 9$

$-x \le -2$

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:

$x \ge 2$

Решаем второе неравенство:

$x - 2 > 2x - 5$

$x - 2x > -5 + 2$

$-x > -3$

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:

$x < 3$

Найдем пересечение решений $x \ge 2$ и $x < 3$. Это будет промежуток от 2 (включительно) до 3 (не включительно).

Ответ: $x \in [2; 3)$.

3)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} (x - 5)^2 - 15 \ge (x - 3)(x - 4) - 50, \\ 4(x + 7) - 16 \ge 2 - x. \end{cases}$

Решаем первое неравенство. Раскроем скобки:

$(x^2 - 10x + 25) - 15 \ge (x^2 - 4x - 3x + 12) - 50$

$x^2 - 10x + 10 \ge x^2 - 7x - 38$

Переносим члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$-10x + 7x \ge -38 - 10$

$-3x \ge -48$

Делим обе части на -3 и меняем знак неравенства:

$x \le 16$

Решаем второе неравенство. Раскроем скобки:

$4x + 28 - 16 \ge 2 - x$

$4x + 12 \ge 2 - x$

$4x + x \ge 2 - 12$

$5x \ge -10$

$x \ge -2$

Найдем пересечение решений $x \le 16$ и $x \ge -2$. Это будет промежуток от -2 (включительно) до 16 (включительно).

Ответ: $x \in [-2; 16]$.

4)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{x-1}{4} + \frac{x+1,7}{3} \ge \frac{3x+1}{5}, \\ \frac{x+2}{4} - \frac{x+8}{5} < \frac{3x-1}{10}. \end{cases}$

Решаем первое неравенство. Найдем общий знаменатель для 4, 3 и 5. Это 60. Умножим обе части неравенства на 60:

$15(x-1) + 20(x+1,7) \ge 12(3x+1)$

Раскроем скобки:

$15x - 15 + 20x + 34 \ge 36x + 12$

$35x + 19 \ge 36x + 12$

$35x - 36x \ge 12 - 19$

$-x \ge -7$

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:

$x \le 7$

Решаем второе неравенство. Найдем общий знаменатель для 4, 5 и 10. Это 20. Умножим обе части неравенства на 20:

$5(x+2) - 4(x+8) < 2(3x-1)$

Раскроем скобки:

$5x + 10 - 4x - 32 < 6x - 2$

$x - 22 < 6x - 2$

$x - 6x < -2 + 22$

$-5x < 20$

Делим обе части на -5 и меняем знак неравенства:

$x > -4$

Найдем пересечение решений $x \le 7$ и $x > -4$. Это будет промежуток от -4 (не включительно) до 7 (включительно).

Ответ: $x \in (-4; 7]$.

950. Найдите сумму целых решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} 3x - 5 < 23 - 4x, \\ 7x - 9 \le 9x + 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2(3x - 4) < 3(4x - 5) + 23, \\ 4(x + 1) \le 3x + 5. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 5 < 23 - 4x, \\ 7x - 9 \le 9x + 1. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$3x - 5 < 23 - 4x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$3x + 4x < 23 + 5$
$7x < 28$
Разделим обе части на 7:
$x < 4$

Теперь решим второе неравенство:

$7x - 9 \le 9x + 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$7x - 9x \le 1 + 9$
$-2x \le 10$
Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge \frac{10}{-2}$
$x \ge -5$

Решением системы является пересечение полученных промежутков: $x < 4$ и $x \ge -5$.

Таким образом, решение системы: $-5 \le x < 4$.

Целые решения, удовлетворяющие этому неравенству: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Найдем сумму этих целых решений:

$S = (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = (-5) + (-4) + (-3+3) + (-2+2) + (-1+1) + 0 = -5 - 4 = -9$.

Ответ: -9

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2(3x - 4) < 3(4x - 5) + 23, \\ 4(x + 1) \le 3x + 5. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство, раскрыв скобки:

$2(3x - 4) < 3(4x - 5) + 23$
$6x - 8 < 12x - 15 + 23$
$6x - 8 < 12x + 8$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$6x - 12x < 8 + 8$
$-6x < 16$
Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{16}{-6}$
$x > -\frac{8}{3}$
$x > -2\frac{2}{3}$

Теперь решим второе неравенство, раскрыв скобки:

$4(x + 1) \le 3x + 5$
$4x + 4 \le 3x + 5$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x - 3x \le 5 - 4$
$x \le 1$

Решением системы является пересечение полученных промежутков: $x > -2\frac{2}{3}$ и $x \le 1$.

Таким образом, решение системы: $-2\frac{2}{3} < x \le 1$.

Целые решения, удовлетворяющие этому неравенству: -2, -1, 0, 1.

Найдем сумму этих целых решений:

$S = (-2) + (-1) + 0 + 1 = -2 + (-1+1) + 0 = -2$.

Ответ: -2

951. Придумайте систему двух линейных неравенств с одной переменной, множеством решений которой является:

1) промежуток $(-2; +\infty)$;

2) промежуток $[-4; \frac{1}{3}]$;

3) промежуток $(-\infty; -10]$;

4) пустое множество;

5) множество, состоящее из одного числа $8$;

6) множество действительных чисел.

1) промежуток $(-2; +∞)$

Чтобы решением системы был промежуток $x \in (-2; +\infty)$, нужно, чтобы пересечение решений двух неравенств давало этот промежуток. Это произойдет, если одно неравенство будет задавать луч $x > -2$, а второе — луч, который полностью включает в себя первый, например, $x > -5$.
Неравенство $x > -2$ можно записать в виде $x + 2 > 0$.
Неравенство $x > -5$ можно записать в виде $x + 5 > 0$.
Таким образом, мы можем составить следующую систему. Решением первого неравенства $x+2 > 0$ является промежуток $(-2; +\infty)$. Решением второго неравенства $x+5 > 0$ является промежуток $(-5; +\infty)$. Пересечение этих двух промежутков $(-2; +\infty) \cap (-5; +\infty)$ и есть искомый промежуток $(-2; +\infty)$.

Ответ: $$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases} $$

2) промежуток $\left[-4; \frac{1}{3}\right]$

Требуемый отрезок $x \in \left[-4; \frac{1}{3}\right]$ можно представить как пересечение двух условий: $x \ge -4$ и $x \le \frac{1}{3}$. Каждое из этих условий является линейным неравенством. Запишем их в стандартной форме.
Неравенство $x \ge -4$ эквивалентно $x + 4 \ge 0$.
Неравенство $x \le \frac{1}{3}$ эквивалентно $3x \le 1$ или $3x - 1 \le 0$.
Система, составленная из этих двух неравенств, будет иметь своим решением пересечение множеств $[-4; +\infty)$ и $\left(-\infty; \frac{1}{3}\right]$, что и дает отрезок $\left[-4; \frac{1}{3}\right]$.

Ответ: $$ \begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 3x - 1 \le 0 \end{cases} $$

3) промежуток $(-\infty; -10]$

Промежуток $x \in (-\infty; -10]$ можно получить как пересечение двух лучей, где один является подмножеством другого. Например, возьмем лучи $x \le -10$ и $x \le -1$.
Неравенство $x \le -10$ можно записать как $x + 10 \le 0$.
Неравенство $x \le -1$ можно записать как $x + 1 \le 0$.
Решением первого неравенства является $(-\infty; -10]$. Решением второго — $(-\infty; -1]$. Их пересечение $(-\infty; -10] \cap (-\infty; -1]$ дает требуемый промежуток $(-\infty; -10]$.

Ответ: $$ \begin{cases} x + 10 \le 0 \\ x + 1 \le 0 \end{cases} $$

4) пустое множество

Чтобы решением системы было пустое множество, множества решений составляющих ее неравенств не должны иметь общих точек (не должны пересекаться). Для этого можно взять два неравенства, задающих непересекающиеся лучи. Например, $x > 2$ и $x < 1$.
Неравенство $x > 2$ эквивалентно $x - 2 > 0$.
Неравенство $x < 1$ эквивалентно $x - 1 < 0$.
Решением первого неравенства является промежуток $(2; +\infty)$, а второго — $(-\infty; 1)$. Эти промежутки не пересекаются, следовательно, решение системы — пустое множество.

Ответ: $$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 1 < 0 \end{cases} $$

5) множество, состоящее из одного числа 8

Решение, состоящее из единственного числа $x=8$, можно получить как пересечение двух нестрогих неравенств, направленных в разные стороны от этого числа: $x \ge 8$ и $x \le 8$.
Неравенство $x \ge 8$ можно записать как $x - 8 \ge 0$.
Неравенство $x \le 8$ можно записать как $x - 8 \le 0$.
Можно также использовать другие коэффициенты, например, для $x \ge 8$ взять неравенство $3x \ge 24$, или $3x-24 \ge 0$. Для $x \le 8$ взять $5x \le 40$, или $5x-40 \le 0$. Решением системы будет пересечение множеств $[8; +\infty)$ и $(-\infty; 8]$, что равно единственному числу $8$.

Ответ: $$ \begin{cases} 3x - 24 \ge 0 \\ 5x - 40 \le 0 \end{cases} $$

6) множество действительных чисел

Чтобы решением системы было множество всех действительных чисел ($x \in R$), необходимо, чтобы решением каждого из двух неравенств в системе было множество $R$. Такое возможно, если неравенство после упрощения превращается в верное числовое тождество (например, $5 > 2$). Это происходит в линейных неравенствах вида $ax+b>c$, когда коэффициент $a$ при переменной $x$ равен нулю, а неравенство для свободных членов верно.
Например, рассмотрим неравенство $2(x+3) > 2x$. Раскрыв скобки, получим $2x+6 > 2x$, что равносильно $6 > 0$. Это верно для любого $x$.
Аналогично, неравенство $5-x < 10-x$ равносильно $5 < 10$, что также верно для любого $x$.
Пересечение множеств решений $R \cap R$ дает $R$.

Ответ: $$ \begin{cases} 2(x+3) > 2x \\ 5-x < 10-x \end{cases} $$

952. Известно, что $1 \leq a \leq 4$. Сколько целых значений может принимать выражение $0,5a - 3$?

По условию задачи известно, что переменная $a$ находится в промежутке $1 \le a \le 4$.
Чтобы определить, сколько целых значений может принимать выражение $0.5a - 3$, необходимо найти границы значений этого выражения.

Для этого выполним последовательные преобразования с исходным неравенством.

1. Умножим все части неравенства $1 \le a \le 4$ на $0.5$. Так как $0.5$ — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$1 \cdot 0.5 \le a \cdot 0.5 \le 4 \cdot 0.5$
$0.5 \le 0.5a \le 2$

2. Теперь вычтем $3$ из всех частей полученного неравенства:
$0.5 - 3 \le 0.5a - 3 \le 2 - 3$
$-2.5 \le 0.5a - 3 \le -1$

Мы получили, что значение выражения $0.5a - 3$ находится в промежутке $[-2.5; -1]$.
Теперь нам нужно найти все целые числа, которые содержатся в этом промежутке.
Целыми числами, удовлетворяющими условию $-2.5 \le x \le -1$, являются $-2$ и $-1$.

Следовательно, выражение может принимать два целых значения.

Ответ: 2.

953. Решите двойное неравенство:

1) $-3 \le 2x - 1 < 5;$

2) $-1 < 3x - 9 \le 6;$

3) $2 < 7 - 4x < 11;$

4) $-2 \le \frac{1-x}{3} \le 1.$

1) Решим двойное неравенство $-3 \le 2x - 1 < 5$.

Чтобы найти $x$, сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-1$ в средней части:

$-3 + 1 \le 2x - 1 + 1 < 5 + 1$

$-2 \le 2x < 6$

Теперь разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-2}{2} \le \frac{2x}{2} < \frac{6}{2}$

$-1 \le x < 3$

Решением является числовой промежуток от -1 (включительно) до 3 (не включая).

Ответ: $x \in [-1; 3)$.

2) Решим двойное неравенство $-1 < 3x - 9 \le 6$.

Сначала прибавим 9 ко всем частям неравенства:

$-1 + 9 < 3x - 9 + 9 \le 6 + 9$

$8 < 3x \le 15$

Теперь разделим все части на 3. Знак неравенства не меняется:

$\frac{8}{3} < \frac{3x}{3} \le \frac{15}{3}$

$\frac{8}{3} < x \le 5$

Решением является числовой промежуток от $\frac{8}{3}$ (не включая) до 5 (включительно).

Ответ: $x \in (\frac{8}{3}; 5]$.

3) Решим двойное неравенство $2 < 7 - 4x < 11$.

Сначала вычтем 7 из всех частей неравенства:

$2 - 7 < 7 - 4x - 7 < 11 - 7$

$-5 < -4x < 4$

Теперь разделим все части на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-5}{-4} > \frac{-4x}{-4} > \frac{4}{-4}$

$\frac{5}{4} > x > -1$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-1 < x < \frac{5}{4}$

Решением является интервал от -1 до $\frac{5}{4}$.

Ответ: $x \in (-1; \frac{5}{4})$.

4) Решим двойное неравенство $-2 \le \frac{1-x}{3} \le 1$.

Сначала умножим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$-2 \cdot 3 \le 3 \cdot \frac{1-x}{3} \le 1 \cdot 3$

$-6 \le 1 - x \le 3$

Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-6 - 1 \le 1 - x - 1 \le 3 - 1$

$-7 \le -x \le 2$

Умножим все части на -1, чтобы получить $x$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-7 \cdot (-1) \ge -x \cdot (-1) \ge 2 \cdot (-1)$

$7 \ge x \ge -2$

Запишем неравенство в привычном виде:

$-2 \le x \le 7$

Решением является числовой отрезок от -2 до 7 (включительно).

Ответ: $x \in [-2; 7]$.

954. При каких значениях $a$ система неравенств имеет хотя бы одно решение:

1) $\begin{cases} x < 4, \\ x > a; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x \le 2, \\ x > a; \end{cases}$ 3) $\begin{cases} x \le -3, \\ x \ge a; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x \ge 1, \\ x \le a? \end{cases}$

1) Данная система неравенств: $ \begin{cases} x < 4 \\ x > a \end{cases} $ Решением системы является множество всех значений $x$, которые одновременно больше $a$ и меньше $4$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a < x < 4$.
Чтобы у этого неравенства было хотя бы одно решение, числовой промежуток $(a, 4)$ должен быть непустым. Это означает, что левая граница интервала должна быть строго меньше правой границы.
Таким образом, должно выполняться условие: $a < 4$.
Если $a \ge 4$, то пересечение множеств решений будет пустым.
Ответ: $a < 4$.

2) Данная система неравенств: $ \begin{cases} x \le 2 \\ x > a \end{cases} $ Решением системы является множество всех значений $x$, которые одновременно больше $a$ и меньше либо равны $2$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a < x \le 2$.
Чтобы у этого неравенства было хотя бы одно решение, числовой промежуток $(a, 2]$ должен быть непустым. Для этого левая граница интервала должна быть строго меньше правой границы.
Таким образом, должно выполняться условие: $a < 2$.
Если $a = 2$, неравенство примет вид $2 < x \le 2$, что не имеет решений. Если $a > 2$, решений также не будет.
Ответ: $a < 2$.

3) Данная система неравенств: $ \begin{cases} x \le -3 \\ x \ge a \end{cases} $ Решением системы является множество всех значений $x$, которые одновременно больше либо равны $a$ и меньше либо равны $-3$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a \le x \le -3$.
Чтобы у этого неравенства было хотя бы одно решение, числовой отрезок $[a, -3]$ должен быть непустым. Это означает, что левая граница отрезка должна быть меньше либо равна правой границе.
Таким образом, должно выполняться условие: $a \le -3$.
Если $a = -3$, неравенство примет вид $-3 \le x \le -3$, что имеет единственное решение $x = -3$. Если $a > -3$, решений не будет.
Ответ: $a \le -3$.

4) Данная система неравенств: $ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le a \end{cases} $ Решением системы является множество всех значений $x$, которые одновременно больше либо равны $1$ и меньше либо равны $a$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1 \le x \le a$.
Чтобы у этого неравенства было хотя бы одно решение, числовой отрезок $[1, a]$ должен быть непустым. Это означает, что левая граница отрезка должна быть меньше либо равна правой границе.
Таким образом, должно выполняться условие: $1 \le a$ или, что то же самое, $a \ge 1$.
Если $a = 1$, неравенство примет вид $1 \le x \le 1$, что имеет единственное решение $x = 1$. Если $a < 1$, решений не будет.
Ответ: $a \ge 1$.