Страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

989. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь – 180 $ \text{см}^2 $. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.
Из условия задачи известно:
Гипотенуза $c = 41$ см.
Площадь $S = 180$ см².

Для нахождения катетов составим систему уравнений, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника и формулу его площади.
1. По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставив значение гипотенузы, получаем: $a^2 + b^2 = 41^2 = 1681$.
2. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$. Подставив значение площади, получаем: $180 = \frac{1}{2}ab$, откуда следует, что $ab = 2 \cdot 180 = 360$.

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 1681 \\ ab = 360 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно применить формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
Мы знаем значения $a^2 + b^2$ и $ab$ из нашей системы. Подставим их в формулу:
$(a+b)^2 = 1681 + 2 \cdot 360 = 1681 + 720 = 2401$.
Так как $a$ и $b$ — это длины сторон треугольника, их сумма $a+b$ должна быть положительной. Извлекая квадратный корень, получаем:
$a+b = \sqrt{2401} = 49$.

Теперь задача сводится к решению более простой системы уравнений:
$ \begin{cases} a+b = 49 \\ ab = 360 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.
Подставим известные нам значения суммы и произведения:
$t^2 - 49t + 360 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.
Теперь найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-49) + 31}{2} = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40$.
$t_2 = \frac{-(-49) - 31}{2} = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Корни этого уравнения, $t_1$ и $t_2$, являются длинами искомых катетов. Таким образом, катеты треугольника равны 9 см и 40 см.

Ответ: катеты треугольника равны 9 см и 40 см.

990. Из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Через 2 ч после начала движения расстояние между автомобилями составляло 40 км, причём встреча автомобилей уже произошла. Найдите скорость каждого автомобиля, если весь путь между городами один из них проехал на час быстрее, чем другой.

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорость первого автомобиля равна $v_1$ км/ч, а скорость второго автомобиля — $v_2$ км/ч. Расстояние между городами по условию составляет $S = 240$ км.

Автомобили выехали одновременно навстречу друг другу. Через 2 часа расстояние между ними составило 40 км, причем встреча уже произошла. Это означает, что за 2 часа они вместе проехали все расстояние между городами (240 км) и еще 40 км, удалившись друг от друга. Таким образом, общее расстояние, которое они преодолели вместе, равно:$S_{общ} = 240 \text{ км} + 40 \text{ км} = 280 \text{ км}$

За 2 часа первый автомобиль проехал $2v_1$ км, а второй — $2v_2$ км. Суммарное пройденное ими расстояние можно выразить как $2v_1 + 2v_2$. Составим первое уравнение:$2v_1 + 2v_2 = 280$Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму скоростей:$v_1 + v_2 = 140$

Второе условие задачи гласит, что один из автомобилей проехал весь путь между городами на 1 час быстрее, чем другой. Допустим, первый автомобиль быстрее ($v_1 > v_2$). Время, за которое первый автомобиль проедет 240 км, равно $t_1 = \frac{240}{v_1}$ ч. Время для второго автомобиля — $t_2 = \frac{240}{v_2}$ ч.Так как первый автомобиль быстрее, он потратит меньше времени. Разница во времени составляет 1 час:$t_2 - t_1 = 1$Подставив выражения для времени, получим второе уравнение:$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1$

Мы получили систему из двух уравнений:$\begin{cases}v_1 + v_2 = 140 \\\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_1$:$v_1 = 140 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{140 - v_2} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $v_2(140 - v_2)$ и умножим на него обе части уравнения:$240(140 - v_2) - 240v_2 = v_2(140 - v_2)$$33600 - 240v_2 - 240v_2 = 140v_2 - v_2^2$$33600 - 480v_2 = 140v_2 - v_2^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$v_2^2 - 480v_2 - 140v_2 + 33600 = 0$$v_2^2 - 620v_2 + 33600 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = (-620)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33600 = 384400 - 134400 = 250000$$\sqrt{D} = \sqrt{250000} = 500$

Найдем два возможных значения для $v_2$:$v_{2,1} = \frac{620 + 500}{2} = \frac{1120}{2} = 560$$v_{2,2} = \frac{620 - 500}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Проанализируем полученные корни:

• Если $v_2 = 560$ км/ч, то $v_1 = 140 - 560 = -420$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, это решение не подходит.
• Если $v_2 = 60$ км/ч, то $v_1 = 140 - 60 = 80$ км/ч. Оба значения положительны и являются решением.

Итак, скорости автомобилей равны 80 км/ч и 60 км/ч.Проверим соответствие условиям задачи:

1. Сумма скоростей: $80 + 60 = 140$ км/ч. За 2 часа они вместе проедут $140 \cdot 2 = 280$ км. Это на $280 - 240 = 40$ км больше расстояния между городами, что соответствует первому условию.
2. Время первого (быстрого) автомобиля на весь путь: $t_1 = \frac{240}{80} = 3$ часа. Время второго автомобиля: $t_2 = \frac{240}{60} = 4$ часа. Разница во времени: $t_2 - t_1 = 4 - 3 = 1$ час, что соответствует второму условию.

Решение найдено верно.

Ответ: скорости автомобилей равны 60 км/ч и 80 км/ч.

991. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 20 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода, которые встретились через 2 ч. Найдите скорость, с которой шёл каждый из них, если один пешеход преодолевает расстояние между сёлами на 1 ч 40 мин быстрее другого.

Для решения задачи введём переменные. Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого пешехода, а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода. Расстояние между сёлами $S = 20$ км.

Шаг 1: Составление первого уравнения на основе времени встречи.
Пешеходы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Они встретились через $t_{встр} = 2$ ч. За это время они вместе преодолели всё расстояние $S$.
Используя формулу $S = v \cdot t$, получаем:
$20 = (v_1 + v_2) \cdot 2$
Отсюда находим сумму скоростей:
$v_1 + v_2 = \frac{20}{2} = 10$
Это первое уравнение системы.

Шаг 2: Составление второго уравнения на основе разницы во времени.
По условию, один пешеход преодолевает расстояние $S$ на 1 час 40 минут быстрее другого. Переведём эту разницу во времени в часы:
$\Delta t = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 1 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{5}{3} \text{ ч}$.
Пусть $v_1$ — скорость более быстрого пешехода. Тогда время, которое он затратит на весь путь ($t_1$), будет меньше времени второго пешехода ($t_2$).
Время первого пешехода: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{20}{v_1}$.
Время второго пешехода: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{20}{v_2}$.
Разница во времени: $t_2 - t_1 = \Delta t$.
$\frac{20}{v_2} - \frac{20}{v_1} = \frac{5}{3}$
Это второе уравнение системы.

Шаг 3: Решение системы уравнений.
Мы получили систему уравнений:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 10 \\ \frac{20}{v_2} - \frac{20}{v_1} = \frac{5}{3} \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 10 - v_1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{20}{10 - v_1} - \frac{20}{v_1} = \frac{5}{3}$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 5:
$\frac{4}{10 - v_1} - \frac{4}{v_1} = \frac{1}{3}$
Приведём левую часть к общему знаменателю $v_1(10 - v_1)$:
$\frac{4v_1 - 4(10 - v_1)}{v_1(10 - v_1)} = \frac{1}{3}$
$\frac{4v_1 - 40 + 4v_1}{10v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
$\frac{8v_1 - 40}{10v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
По свойству пропорции (перекрёстное умножение):
$3(8v_1 - 40) = 1(10v_1 - v_1^2)$
$24v_1 - 120 = 10v_1 - v_1^2$
Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$v_1^2 + 24v_1 - 10v_1 - 120 = 0$
$v_1^2 + 14v_1 - 120 = 0$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения.
Решим уравнение $v_1^2 + 14v_1 - 120 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$.
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
Находим корни:
$v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 26}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
$v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 26}{2} = \frac{-40}{2} = -20$.
Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень -20 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого (быстрого) пешехода $v_1 = 6$ км/ч.

Шаг 5: Нахождение скорости второго пешехода.
Возвращаемся к первому уравнению:
$v_2 = 10 - v_1 = 10 - 6 = 4$.
Скорость второго пешехода $v_2 = 4$ км/ч.

Ответ: скорость одного пешехода 6 км/ч, а скорость другого — 4 км/ч.

992. Двое рабочих могут выполнить некоторое задание за 9 ч. Если бы первый проработал 1 ч 12 мин, а потом второй — 2 ч, то было бы выполнено 20 % задания. За какое время может выполнить самостоятельно это задание каждый рабочий?

Обозначим весь объем работы за 1. Пусть $x$ — время в часах, за которое первый рабочий может выполнить всю работу самостоятельно, а $y$ — время в часах, за которое второй рабочий может выполнить всю работу самостоятельно.

Тогда производительность (скорость выполнения работы) первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность второго рабочего — $\frac{1}{y}$ работы в час.

Согласно первому условию, двое рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 9 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. За 9 часов они выполняют всю работу, что можно записать в виде уравнения:

$9 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$

Отсюда получаем первое уравнение системы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{9}$

Согласно второму условию, если первый рабочий проработает 1 час 12 минут, а затем второй — 2 часа, то будет выполнено 20% задания. Переведем время работы первого рабочего в часы: 1 час 12 минут = $1 + \frac{12}{60}$ часа = $1 + \frac{1}{5}$ часа = $1.2$ часа. Объем выполненной работы составляет 20%, что равно $0.2$ или $\frac{1}{5}$ от всей работы.

Работа, выполненная первым рабочим за 1.2 часа, равна $1.2 \cdot \frac{1}{x}$. Работа, выполненная вторым рабочим за 2 часа, равна $2 \cdot \frac{1}{y}$. Суммарно они выполнили $\frac{1}{5}$ всей работы. Получаем второе уравнение системы:

$\frac{1.2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{5}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{9} \\ \frac{1.2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{5} \end{cases}$

Для удобства решения введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases} u + v = \frac{1}{9} \\ 1.2u + 2v = \frac{1}{5} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v$ через $u$:

$v = \frac{1}{9} - u$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.2u + 2(\frac{1}{9} - u) = \frac{1}{5}$

$1.2u + \frac{2}{9} - 2u = \frac{1}{5}$

$-0.8u = \frac{1}{5} - \frac{2}{9}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 45:

$-0.8u = \frac{9}{45} - \frac{10}{45}$

$-0.8u = -\frac{1}{45}$

$0.8u = \frac{1}{45}$

Представим $0.8$ в виде обыкновенной дроби $\frac{4}{5}$:

$\frac{4}{5}u = \frac{1}{45}$

$u = \frac{1}{45} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}$

Теперь найдем $v$, подставив значение $u$ в выражение для $v$:

$v = \frac{1}{9} - u = \frac{1}{9} - \frac{1}{36} = \frac{4}{36} - \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$u = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{36} = \frac{1}{x} \implies x = 36$

$v = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{12} = \frac{1}{y} \implies y = 12$

Таким образом, первому рабочему для выполнения всей работы потребуется 36 часов, а второму — 12 часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить задание за 36 часов, а второй — за 12 часов.

993. Лодка проходит 15 км по течению реки за то же время, что и 12 км против течения. Чему равна скорость течения, если 1 км по течению и 1 км против течения лодка проходит за 27 мин?

Пусть $v_л$ — собственная скорость лодки в км/ч, а $v_т$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(v_л + v_т)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(v_л - v_т)$ км/ч.

Согласно первому условию, время, затраченное на 15 км по течению, равно времени, затраченному на 12 км против течения. Используя формулу времени $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость, составим первое уравнение:

$ \frac{15}{v_л + v_т} = \frac{12}{v_л - v_т} $

Решим это уравнение относительно $v_л$:
$ 15(v_л - v_т) = 12(v_л + v_т) $
$ 15v_л - 15v_т = 12v_л + 12v_т $
$ 15v_л - 12v_л = 12v_т + 15v_т $
$ 3v_л = 27v_т $
$ v_л = 9v_т $

Согласно второму условию, на путь в 1 км по течению и 1 км против течения лодка затрачивает 27 минут. Сначала переведем время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы:

$ 27 \text{ мин} = \frac{27}{60} \text{ ч} = \frac{9}{20} \text{ ч} $

Суммарное время движения составляет:

$ t_{по} + t_{против} = \frac{1}{v_л + v_т} + \frac{1}{v_л - v_т} $

Составим второе уравнение:

$ \frac{1}{v_л + v_т} + \frac{1}{v_л - v_т} = \frac{9}{20} $

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее соотношение $v_л = 9v_т$:

$ \frac{1}{9v_т + v_т} + \frac{1}{9v_т - v_т} = \frac{9}{20} $
$ \frac{1}{10v_т} + \frac{1}{8v_т} = \frac{9}{20} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $40v_т$:

$ \frac{4}{40v_т} + \frac{5}{40v_т} = \frac{9}{20} $
$ \frac{9}{40v_т} = \frac{9}{20} $

Теперь решим уравнение относительно $v_т$:

$ \frac{1}{40v_т} = \frac{1}{20} $ (разделили обе части на 9)
$ 40v_т = 20 $
$ v_т = \frac{20}{40} = 0.5 $

Скорость течения реки равна 0,5 км/ч.

Ответ: 0,5 км/ч.

994. Велосипедист проехал от села до железнодорожной станции по шоссейной дороге длиной 10 км, а вернулся по грунтовой дороге длиной 5 км, потратив на весь путь 1 ч 5 мин. Найдите скорость движения велосипедиста по шоссейной дороге, если на обратный путь он потратил на 15 мин меньше, чем на дорогу до станции.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$t_1$ — время движения от села до станции по шоссейной дороге (в часах).
$t_2$ — время движения на обратном пути по грунтовой дороге (в часах).
$S_1$ — длина шоссейной дороги, $S_1 = 10$ км.
$S_2$ — длина грунтовой дороги, $S_2 = 5$ км.
$v_1$ — искомая скорость движения по шоссейной дороге (в км/ч).

Общее время, потраченное на весь путь, составляет 1 час 5 минут.
Время, на которое обратный путь был короче, составляет 15 минут.

Переведем время в единую единицу измерения — часы:
Общее время $T_{общ} = 1 \text{ ч } 5 \text{ мин} = 1 + \frac{5}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{12} \text{ ч} = \frac{13}{12}$ ч.
Разница во времени $\Delta t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.

Составим систему уравнений на основе условий задачи:
1. Сумма времени на путь туда и обратно: $t_1 + t_2 = \frac{13}{12}$
2. Разница во времени: $t_2 = t_1 - \frac{1}{4}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $t_1$:
$t_1 + (t_1 - \frac{1}{4}) = \frac{13}{12}$
$2t_1 - \frac{1}{4} = \frac{13}{12}$
$2t_1 = \frac{13}{12} + \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$2t_1 = \frac{13}{12} + \frac{3}{12}$
$2t_1 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$
$t_1 = \frac{4}{3} \div 2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ч.

Итак, время, затраченное на путь по шоссейной дороге, равно $\frac{2}{3}$ часа.

Теперь мы можем найти скорость движения велосипедиста по шоссейной дороге ($v_1$) по формуле $v = \frac{S}{t}$:
$v_1 = \frac{S_1}{t_1} = \frac{10 \text{ км}}{\frac{2}{3} \text{ ч}} = 10 \times \frac{3}{2} = \frac{30}{2} = 15$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

995. Из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $180 \text{ км}$, выехали одновременно навстречу друг другу автобус и грузовик. После их встречи автобус, выехавший из города $A$, прибыл в город $B$ через $1 \text{ ч}$, а грузовик прибыл в город $A$ через $2 \text{ ч } 15 \text{ мин}$. Найдите скорость каждого из них.

Пусть $v_a$ — скорость автобуса в км/ч, а $v_g$ — скорость грузовика в км/ч. Пусть $t$ — время в часах, через которое они встретились после выезда. Место встречи обозначим точкой C.

Расстояние, которое проехал автобус от города А до точки встречи C, равно $S_{AC} = v_a \cdot t$.

Расстояние, которое проехал грузовик от города B до точки встречи C, равно $S_{BC} = v_g \cdot t$.

Общее расстояние между городами А и В равно 180 км, следовательно:$S_{AC} + S_{BC} = 180$$(v_a + v_g) \cdot t = 180$

После встречи автобусу осталось проехать расстояние $S_{BC}$ до города В. По условию, он затратил на это 1 час. Значит:$S_{BC} = v_a \cdot 1 = v_a$

Грузовику после встречи осталось проехать расстояние $S_{AC}$ до города А. По условию, он затратил на это 2 часа 15 минут. Переведем это время в часы:$2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} = 2 + \frac{1}{4} = 2.25$ ч.Значит:$S_{AC} = v_g \cdot 2.25$

Теперь у нас есть система выражений. Из уравнений для пути до встречи $S_{AC} = v_a \cdot t$ и $S_{BC} = v_g \cdot t$ можно выразить время $t$:$t = \frac{S_{AC}}{v_a}$ и $t = \frac{S_{BC}}{v_g}$

Приравняем эти выражения для $t$:$\frac{S_{AC}}{v_a} = \frac{S_{BC}}{v_g}$

Теперь подставим в это равенство выражения для $S_{AC}$ и $S_{BC}$, полученные из данных о движении после встречи:$\frac{v_g \cdot 2.25}{v_a} = \frac{v_a}{v_g}$

Умножим обе части на $v_a \cdot v_g$, чтобы избавиться от дробей:$2.25 \cdot v_g^2 = v_a^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей (скорости — величины положительные):$v_a = \sqrt{2.25} \cdot v_g$$v_a = 1.5 \cdot v_g$

Это означает, что скорость автобуса в 1.5 раза больше скорости грузовика.

Теперь воспользуемся уравнением для полного расстояния:$S_{AC} + S_{BC} = 180$Подставим сюда выражения для $S_{AC}$ и $S_{BC}$ через скорости:$(v_g \cdot 2.25) + (v_a \cdot 1) = 180$

Заменим $v_a$ на $1.5 \cdot v_g$:$2.25 v_g + 1.5 v_g = 180$$3.75 v_g = 180$

Теперь найдем скорость грузовика $v_g$:$v_g = \frac{180}{3.75} = \frac{180}{15/4} = 180 \cdot \frac{4}{15} = 12 \cdot 4 = 48$ км/ч.

Наконец, найдем скорость автобуса $v_a$:$v_a = 1.5 \cdot v_g = 1.5 \cdot 48 = 72$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 72 км/ч, скорость грузовика — 48 км/ч.

996. Количество ив составляет 20 % от количества каштанов, растущих в парке. Сколько процентов составляет количество каштанов от количества ив?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $И$ — это количество ив, а $К$ — это количество каштанов в парке.

Согласно условию, количество ив составляет 20% от количества каштанов. Чтобы использовать проценты в вычислениях, переведем их в десятичную дробь: $20\% = \frac{20}{100} = 0.2$.

Теперь мы можем записать соотношение между количеством ив и каштанов в виде уравнения: $И = 0.2 \times К$

Нам необходимо найти, сколько процентов составляет количество каштанов от количества ив. Это означает, что нам нужно найти отношение $\frac{К}{И}$ и выразить его в процентах.

Для этого выразим $К$ из нашего уравнения. Разделим обе части уравнения на 0.2: $К = \frac{И}{0.2}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, вспомним, что $0.2 = \frac{1}{5}$. Тогда: $К = \frac{И}{\frac{1}{5}} = И \times 5 = 5И$

Это означает, что количество каштанов в 5 раз больше, чем количество ив.

Теперь найдем, какую долю составляют каштаны от ив, разделив $К$ на $И$: $\frac{К}{И} = \frac{5И}{И} = 5$

Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим полученное число на 100%: $5 \times 100\% = 500\%$

Ответ: 500%.

997. На сколько процентов увеличится число при увеличении его в 3,2 раза?

Пусть исходное число равно $x$. Это число соответствует 100%.

При увеличении числа в 3,2 раза, мы получаем новое число, равное $3,2 \cdot x$.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось число, сперва найдем абсолютное увеличение. Абсолютное увеличение — это разница между новым и исходным числом:
$3,2x - x = 2,2x$

Теперь выразим это увеличение в процентах по отношению к исходному числу $x$. Для этого разделим абсолютное увеличение на исходное число и умножим на 100%:
$\frac{2,2x}{x} \cdot 100\%$

Сократив $x$ в числителе и знаменателе, получим:
$2,2 \cdot 100\% = 220\%$

Альтернативный способ:
Исходное число можно принять за 100%.
Увеличение числа в 3,2 раза означает, что новое число составит $3,2 \cdot 100\% = 320\%$ от исходного.
Чтобы найти, на сколько именно процентов увеличилось число, нужно вычесть из процентного значения нового числа процентное значение исходного числа:
$320\% - 100\% = 220\%$

Ответ: на 220%.

998. На сколько процентов уменьшится число при уменьшении его в 4 раза?

Примем исходное число за 1 (единицу), что соответствует 100%.

Если число уменьшить в 4 раза, то оно станет равно $\frac{1}{4}$ от своего первоначального значения.

Чтобы выразить часть $\frac{1}{4}$ в процентах, нужно умножить эту дробь на 100%: $ \frac{1}{4} \times 100\% = 25\% $

Это означает, что новое, уменьшенное число, составляет 25% от исходного.

Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилось число, нужно из начального значения в процентах (100%) вычесть значение нового числа в процентах (25%): $ 100\% - 25\% = 75\% $

Ответ: 75%.

999. Одна книга на 50 % дороже другой. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

Для решения этой задачи необходимо четко понимать, какая величина принимается за 100% в каждом из случаев.

1. Определяем цены книг.
Пусть цена второй книги (более дешевой) равна $x$. По условию, первая книга на 50% дороже второй. Это значит, что ее цена на 50% больше, чем $x$.
Найдем цену первой книги: $x + 0.5x = 1.5x$ Итак, цена первой книги – $1.5x$, цена второй книги – $x$.

2. Находим, на сколько процентов вторая книга дешевле первой.
Теперь нам нужно сравнить цену второй книги с ценой первой. В этом случае за 100% мы принимаем цену первой книги, то есть $1.5x$.
Сначала найдем разницу в ценах: $1.5x - x = 0.5x$

Теперь определим, какую долю эта разница ($0.5x$) составляет от цены первой книги ($1.5x$), и переведем эту долю в проценты: $\frac{\text{разница в цене}}{\text{цена первой книги}} \times 100\% = \frac{0.5x}{1.5x} \times 100\%$

Переменная $x$ сокращается: $\frac{0.5}{1.5} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = 33 \frac{1}{3}\%$

Ответ: вторая книга дешевле первой на $33 \frac{1}{3}\%$.

1000. Мебельная мастерская изготавливает стулья и столы. Стулья сначала составляли 80 % объёма продукции, а сейчас – 90 %. На сколько процентов при этом уменьшилось производство столов?

Для решения этой задачи важно понять, как изменилась доля столов в общем объеме производства, и затем рассчитать процентное уменьшение относительно первоначального количества столов.

Пусть $V$ — это общий объем продукции мастерской (стулья и столы вместе). Для корректного сравнения будем считать, что этот общий объем не изменился.

1. Начальные условия.

Изначально стулья составляли 80% от общего объема. Следовательно, доля столов составляла:

$100\% - 80\% = 20\%$

Таким образом, первоначальный объем производства столов, обозначим его $T_{1}$, был равен $0.2 \cdot V$.

2. Новые условия.

Сейчас стулья составляют 90% от общего объема. Следовательно, новая доля столов составляет:

$100\% - 90\% = 10\%$

Новый объем производства столов, обозначим его $T_{2}$, стал равен $0.1 \cdot V$.

3. Расчет процентного уменьшения.

Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилось производство столов, нужно сравнить абсолютное уменьшение ($T_{1} - T_{2}$) с первоначальным объемом ($T_{1}$).

Формула для нахождения процентного уменьшения:

$\text{Процентное уменьшение} = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} \times 100\%$

Подставим наши значения в формулу:

$\frac{0.2 \cdot V - 0.1 \cdot V}{0.2 \cdot V} \times 100\% = \frac{0.1 \cdot V}{0.2 \cdot V} \times 100\% = \frac{0.1}{0.2} \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\%$

Таким образом, производство столов сократилось вдвое, то есть на 50%.

Ответ: производство столов уменьшилось на 50%.