Номер 990, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

990. Из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Через 2 ч после начала движения расстояние между автомобилями составляло 40 км, причём встреча автомобилей уже произошла. Найдите скорость каждого автомобиля, если весь путь между городами один из них проехал на час быстрее, чем другой.

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорость первого автомобиля равна $v_1$ км/ч, а скорость второго автомобиля — $v_2$ км/ч. Расстояние между городами по условию составляет $S = 240$ км.

Автомобили выехали одновременно навстречу друг другу. Через 2 часа расстояние между ними составило 40 км, причем встреча уже произошла. Это означает, что за 2 часа они вместе проехали все расстояние между городами (240 км) и еще 40 км, удалившись друг от друга. Таким образом, общее расстояние, которое они преодолели вместе, равно:$S_{общ} = 240 \text{ км} + 40 \text{ км} = 280 \text{ км}$

За 2 часа первый автомобиль проехал $2v_1$ км, а второй — $2v_2$ км. Суммарное пройденное ими расстояние можно выразить как $2v_1 + 2v_2$. Составим первое уравнение:$2v_1 + 2v_2 = 280$Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму скоростей:$v_1 + v_2 = 140$

Второе условие задачи гласит, что один из автомобилей проехал весь путь между городами на 1 час быстрее, чем другой. Допустим, первый автомобиль быстрее ($v_1 > v_2$). Время, за которое первый автомобиль проедет 240 км, равно $t_1 = \frac{240}{v_1}$ ч. Время для второго автомобиля — $t_2 = \frac{240}{v_2}$ ч.Так как первый автомобиль быстрее, он потратит меньше времени. Разница во времени составляет 1 час:$t_2 - t_1 = 1$Подставив выражения для времени, получим второе уравнение:$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1$

Мы получили систему из двух уравнений:$\begin{cases}v_1 + v_2 = 140 \\\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_1$:$v_1 = 140 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{140 - v_2} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $v_2(140 - v_2)$ и умножим на него обе части уравнения:$240(140 - v_2) - 240v_2 = v_2(140 - v_2)$$33600 - 240v_2 - 240v_2 = 140v_2 - v_2^2$$33600 - 480v_2 = 140v_2 - v_2^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$v_2^2 - 480v_2 - 140v_2 + 33600 = 0$$v_2^2 - 620v_2 + 33600 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = (-620)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33600 = 384400 - 134400 = 250000$$\sqrt{D} = \sqrt{250000} = 500$

Найдем два возможных значения для $v_2$:$v_{2,1} = \frac{620 + 500}{2} = \frac{1120}{2} = 560$$v_{2,2} = \frac{620 - 500}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Проанализируем полученные корни:

• Если $v_2 = 560$ км/ч, то $v_1 = 140 - 560 = -420$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, это решение не подходит.
• Если $v_2 = 60$ км/ч, то $v_1 = 140 - 60 = 80$ км/ч. Оба значения положительны и являются решением.

Итак, скорости автомобилей равны 80 км/ч и 60 км/ч.Проверим соответствие условиям задачи:

1. Сумма скоростей: $80 + 60 = 140$ км/ч. За 2 часа они вместе проедут $140 \cdot 2 = 280$ км. Это на $280 - 240 = 40$ км больше расстояния между городами, что соответствует первому условию.
2. Время первого (быстрого) автомобиля на весь путь: $t_1 = \frac{240}{80} = 3$ часа. Время второго автомобиля: $t_2 = \frac{240}{60} = 4$ часа. Разница во времени: $t_2 - t_1 = 4 - 3 = 1$ час, что соответствует второму условию.

Решение найдено верно.

Ответ: скорости автомобилей равны 60 км/ч и 80 км/ч.