Номер 986, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

986. Найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $3x - y - 5 = 0$ и параболы $y = \frac{2}{3}x^2 - 2x + 4$;

2) прямой $2x - 3y - 3 = 0$ и гиперболы $xy = 3$;

3) окружности $x^2 + y^2 = 13$ и гиперболы $xy = 6$.

1) прямой $3x - y - 5 = 0$ и параболы $y = \frac{2}{3}x^2 - 2x + 4$
Для нахождения координат точек пересечения необходимо решить систему двух уравнений. Координаты $(x, y)$ точек пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям.
Система уравнений:
$ \begin{cases} 3x - y - 5 = 0 \\ y = \frac{2}{3}x^2 - 2x + 4 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x - 5$
Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$3x - 5 = \frac{2}{3}x^2 - 2x + 4$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$\frac{2}{3}x^2 - 2x - 3x + 4 + 5 = 0$
$\frac{2}{3}x^2 - 5x + 9 = 0$
Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 3:
$2x^2 - 15x + 27 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27 = 225 - 216 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-(-15) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя уравнение прямой $y = 3x - 5$:
Для $x_1 = 3$: $y_1 = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$.
Первая точка пересечения: $(3, 4)$.
Для $x_2 = \frac{9}{2}$: $y_2 = 3(\frac{9}{2}) - 5 = \frac{27}{2} - \frac{10}{2} = \frac{17}{2}$.
Вторая точка пересечения: $(\frac{9}{2}, \frac{17}{2})$.
Ответ: $(3, 4)$ и $(\frac{9}{2}, \frac{17}{2})$.

2) прямой $2x - 3y - 3 = 0$ и гиперболы $xy = 3$
Составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y - 3 = 0 \\ xy = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ (заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$):
$y = \frac{3}{x}$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x - 3\left(\frac{3}{x}\right) - 3 = 0$
$2x - \frac{9}{x} - 3 = 0$
Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:
$2x^2 - 9 - 3x = 0$
Запишем в стандартном виде:
$2x^2 - 3x - 9 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = \frac{3}{x}$:
Для $x_1 = -\frac{3}{2}$: $y_1 = \frac{3}{-3/2} = -2$.
Первая точка пересечения: $(-\frac{3}{2}, -2)$.
Для $x_2 = 3$: $y_2 = \frac{3}{3} = 1$.
Вторая точка пересечения: $(3, 1)$.
Ответ: $(-\frac{3}{2}, -2)$ и $(3, 1)$.

3) окружности $x^2 + y^2 = 13$ и гиперболы $xy = 6$
Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{6}{x}$ (при $x \neq 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 13$
$x^2 + \frac{36}{x^2} = 13$
Умножим обе части уравнения на $x^2$ (так как $x \neq 0$):
$x^4 + 36 = 13x^2$
Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:
$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
$t^2 - 13t + 36 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета: сумма корней равна 13, произведение равно 36. Корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому они нам подходят.
Вернемся к замене:
1) $x^2 = t_1 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm 2$.
2) $x^2 = t_2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x = \pm 3$.
Мы нашли четыре возможных значения для $x$. Теперь найдем для каждого из них соответствующее значение $y$ из уравнения $y = \frac{6}{x}$:
Если $x = 2$, то $y = \frac{6}{2} = 3$. Точка: $(2, 3)$.
Если $x = -2$, то $y = \frac{6}{-2} = -3$. Точка: $(-2, -3)$.
Если $x = 3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$. Точка: $(3, 2)$.
Если $x = -3$, то $y = \frac{6}{-3} = -2$. Точка: $(-3, -2)$.
Ответ: $(2, 3)$, $(-2, -3)$, $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.