Номер 989, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

989. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь – 180 $ \text{см}^2 $. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.
Из условия задачи известно:
Гипотенуза $c = 41$ см.
Площадь $S = 180$ см².

Для нахождения катетов составим систему уравнений, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника и формулу его площади.
1. По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставив значение гипотенузы, получаем: $a^2 + b^2 = 41^2 = 1681$.
2. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$. Подставив значение площади, получаем: $180 = \frac{1}{2}ab$, откуда следует, что $ab = 2 \cdot 180 = 360$.

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 1681 \\ ab = 360 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно применить формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
Мы знаем значения $a^2 + b^2$ и $ab$ из нашей системы. Подставим их в формулу:
$(a+b)^2 = 1681 + 2 \cdot 360 = 1681 + 720 = 2401$.
Так как $a$ и $b$ — это длины сторон треугольника, их сумма $a+b$ должна быть положительной. Извлекая квадратный корень, получаем:
$a+b = \sqrt{2401} = 49$.

Теперь задача сводится к решению более простой системы уравнений:
$ \begin{cases} a+b = 49 \\ ab = 360 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.
Подставим известные нам значения суммы и произведения:
$t^2 - 49t + 360 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.
Теперь найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-49) + 31}{2} = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40$.
$t_2 = \frac{-(-49) - 31}{2} = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Корни этого уравнения, $t_1$ и $t_2$, являются длинами искомых катетов. Таким образом, катеты треугольника равны 9 см и 40 см.

Ответ: катеты треугольника равны 9 см и 40 см.