Номер 985, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

985. Найдите решения системы уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy + x + y = 11, \\ xy(x + y) = 30; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + xy + y = 5, \\ x - xy + y = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - y = 2, \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 25, \\ x^2 - 3xy = 4; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 14, \\ xy = -6; \end{cases}$

7) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{10}, \\ xy = 50; \end{cases}$

8) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{16}{15}, \\ x^2 - y^2 = 16; \end{cases}$

9) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ x^2 + y^2 = 25; \end{cases}$

10) $\begin{cases} x^2 + 2xy = 5, \\ y^2 - 4xy = -4. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ xy = 2 \end{cases} $$

Это симметрическая система. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $. Подставим в нее известные значения из системы:

$ (x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 5 + 2(2) = 9 $

Отсюда получаем два случая для $ x+y $:

1. $ x+y = 3 $

2. $ x+y = -3 $

Рассмотрим каждый случай отдельно, используя второе уравнение системы $ xy = 2 $.

Случай 1: $ x+y = 3 $ и $ xy = 2 $.
Согласно обратной теореме Виета, $ x $ и $ y $ являются корнями квадратного уравнения $ t^2 - 3t + 2 = 0 $.
Корни этого уравнения: $ t_1 = 1, t_2 = 2 $.
Следовательно, решения в этом случае: $ (1, 2) $ и $ (2, 1) $.

Случай 2: $ x+y = -3 $ и $ xy = 2 $.
Аналогично, составляем квадратное уравнение: $ t^2 - (-3)t + 2 = 0 $, что равносильно $ t^2 + 3t + 2 = 0 $.
Корни этого уравнения: $ t_1 = -1, t_2 = -2 $.
Следовательно, решения в этом случае: $ (-1, -2) $ и $ (-2, -1) $.

Ответ: $ (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1) $.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy + x + y = 11 \\ xy(x + y) = 30 \end{cases} $$

Это симметрическая система. Введем новые переменные: $ u = x+y $ и $ v = xy $. Система примет вид:

$$ \begin{cases} v + u = 11 \\ vu = 30 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $ u $ и $ v $ являются корнями квадратного уравнения $ z^2 - 11z + 30 = 0 $.
Корни этого уравнения: $ z_1 = 5, z_2 = 6 $.
Это дает нам две системы для $ x $ и $ y $:

1. $ u=5, v=6 \implies x+y=5, xy=6 $

2. $ u=6, v=5 \implies x+y=6, xy=5 $

Случай 1: $ x+y=5, xy=6 $.
Составляем уравнение для $ t $: $ t^2 - 5t + 6 = 0 $. Его корни $ t_1=2, t_2=3 $.
Решения: $ (2, 3) $ и $ (3, 2) $.

Случай 2: $ x+y=6, xy=5 $.
Составляем уравнение для $ t $: $ t^2 - 6t + 5 = 0 $. Его корни $ t_1=1, t_2=5 $.
Решения: $ (1, 5) $ и $ (5, 1) $.

Ответ: $ (2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1) $.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + xy + y = 5 \\ x - xy + y = 1 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$ (x + y + xy) + (x + y - xy) = 5 + 1 \implies 2x + 2y = 6 \implies x+y=3 $.

Вычтем второе уравнение из первого:

$ (x + y + xy) - (x + y - xy) = 5 - 1 \implies 2xy = 4 \implies xy=2 $.

Получили новую, более простую систему:

$$ \begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $ x $ и $ y $ являются корнями уравнения $ t^2 - 3t + 2 = 0 $.
Корни: $ t_1 = 1, t_2 = 2 $.

Ответ: $ (1, 2), (2, 1) $.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 2 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6} \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6} \implies \frac{(x-y)(x+y)}{xy} = \frac{5}{6} $

Подставим $ x-y=2 $ из первого уравнения:

$ \frac{2(x+y)}{xy} = \frac{5}{6} \implies 12(x+y) = 5xy $.

Из первого уравнения выразим $ x = y+2 $ и подставим в полученное уравнение:

$ 12((y+2)+y) = 5(y+2)y $

$ 12(2y+2) = 5y^2 + 10y $

$ 24y + 24 = 5y^2 + 10y $

$ 5y^2 - 14y - 24 = 0 $

Решаем квадратное уравнение для $ y $:

$ D = (-14)^2 - 4(5)(-24) = 196 + 480 = 676 = 26^2 $

$ y_{1,2} = \frac{14 \pm 26}{10} $

$ y_1 = \frac{40}{10} = 4 $, тогда $ x_1 = 4+2=6 $.

$ y_2 = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} $, тогда $ x_2 = -\frac{6}{5}+2 = \frac{4}{5} $.

Ответ: $ (6, 4), (\frac{4}{5}, -\frac{6}{5}) $.

5)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 25 \\ x^2 - 3xy = 4 \end{cases} $$

Первое уравнение является полным квадратом: $ (x+y)^2 = 25 $.
Отсюда $ x+y=5 $ или $ x+y=-5 $.

Случай 1: $ x+y=5 \implies y=5-x $.

Подставим во второе уравнение: $ x^2 - 3x(5-x) = 4 \implies x^2 - 15x + 3x^2 = 4 \implies 4x^2 - 15x - 4 = 0 $.

$ D = (-15)^2 - 4(4)(-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $.

$ x_{1,2} = \frac{15 \pm 17}{8} \implies x_1 = 4, x_2 = -\frac{1}{4} $.

Если $ x_1 = 4 $, то $ y_1 = 5-4 = 1 $. Решение: $ (4, 1) $.

Если $ x_2 = -\frac{1}{4} $, то $ y_2 = 5 - (-\frac{1}{4}) = \frac{21}{4} $. Решение: $ (-\frac{1}{4}, \frac{21}{4}) $.

Случай 2: $ x+y=-5 \implies y=-5-x $.

Подставим во второе уравнение: $ x^2 - 3x(-5-x) = 4 \implies x^2 + 15x + 3x^2 = 4 \implies 4x^2 + 15x - 4 = 0 $.

$ D = 15^2 - 4(4)(-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $.

$ x_{3,4} = \frac{-15 \pm 17}{8} \implies x_3 = \frac{1}{4}, x_4 = -4 $.

Если $ x_3 = \frac{1}{4} $, то $ y_3 = -5 - \frac{1}{4} = -\frac{21}{4} $. Решение: $ (\frac{1}{4}, -\frac{21}{4}) $.

Если $ x_4 = -4 $, то $ y_4 = -5 - (-4) = -1 $. Решение: $ (-4, -1) $.

Ответ: $ (4, 1), (-\frac{1}{4}, \frac{21}{4}), (\frac{1}{4}, -\frac{21}{4}), (-4, -1) $.

6)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 14 \\ xy = -6 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $ y = -\frac{6}{x} $ (при $ x \ne 0 $) и подставим в первое:

$ 2x^2 - (-\frac{6}{x})^2 = 14 \implies 2x^2 - \frac{36}{x^2} = 14 $.

Умножим обе части на $ x^2 $: $ 2x^4 - 36 = 14x^2 \implies 2x^4 - 14x^2 - 36 = 0 \implies x^4 - 7x^2 - 18 = 0 $.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $ z=x^2 $ (где $ z \ge 0 $):

$ z^2 - 7z - 18 = 0 $.

Корни этого уравнения: $ z_1 = 9, z_2 = -2 $. Так как $ z \ge 0 $, нам подходит только $ z=9 $.

Возвращаемся к $ x $: $ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $.

Если $ x=3 $, то $ y = -\frac{6}{3} = -2 $.

Если $ x=-3 $, то $ y = -\frac{6}{-3} = 2 $.

Ответ: $ (3, -2), (-3, 2) $.

7)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \\ xy = 50 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$ \frac{y-x}{xy} = \frac{1}{10} $.

Подставим $ xy=50 $ из второго уравнения:

$ \frac{y-x}{50} = \frac{1}{10} \implies y-x = \frac{50}{10} = 5 $.

Получили систему:

$$ \begin{cases} y-x = 5 \\ xy = 50 \end{cases} $$

Из первого уравнения $ y=x+5 $. Подставляем во второе:

$ x(x+5) = 50 \implies x^2 + 5x - 50 = 0 $.

Корни этого уравнения: $ x_1 = 5, x_2 = -10 $.

Если $ x_1=5 $, то $ y_1 = 5+5=10 $.

Если $ x_2=-10 $, то $ y_2 = -10+5=-5 $.

Ответ: $ (5, 10), (-10, -5) $.

8)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{16}{15} \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$ \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{16}{15} $.

Подставим $ x^2-y^2=16 $ из второго уравнения:

$ \frac{16}{xy} = \frac{16}{15} \implies xy=15 $.

Получили систему:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 16 \\ xy = 15 \end{cases} $$

Из второго уравнения $ y=\frac{15}{x} $. Подставляем в первое:

$ x^2 - (\frac{15}{x})^2 = 16 \implies x^2 - \frac{225}{x^2} = 16 \implies x^4 - 16x^2 - 225 = 0 $.

Сделаем замену $ z=x^2 $ (где $ z \ge 0 $): $ z^2 - 16z - 225 = 0 $.

$ D = (-16)^2 - 4(1)(-225) = 256 + 900 = 1156 = 34^2 $.

$ z_{1,2} = \frac{16 \pm 34}{2} \implies z_1 = 25, z_2 = -9 $. Нам подходит $ z=25 $.

$ x^2=25 \implies x = \pm 5 $.

Если $ x=5 $, то $ y = \frac{15}{5}=3 $.

Если $ x=-5 $, то $ y = \frac{15}{-5}=-3 $.

Ответ: $ (5, 3), (-5, -3) $.

9)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12} \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение: $ \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{25}{12} $.

Подставим $ x^2+y^2=25 $ из второго уравнения:

$ \frac{25}{xy} = \frac{25}{12} \implies xy=12 $.

Получили систему, аналогичную задаче 1:

$$ \begin{cases} x^2+y^2=25 \\ xy=12 \end{cases} $$

Из формулы $ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy $ получаем $ (x+y)^2 = 25 + 2(12) = 49 \implies x+y=\pm 7 $.

Случай 1: $ x+y=7, xy=12 $.

Уравнение $ t^2-7t+12=0 $ имеет корни $ t_1=3, t_2=4 $. Решения: $ (3, 4), (4, 3) $.

Случай 2: $ x+y=-7, xy=12 $.

Уравнение $ t^2+7t+12=0 $ имеет корни $ t_1=-3, t_2=-4 $. Решения: $ (-3, -4), (-4, -3) $.

Ответ: $ (3, 4), (4, 3), (-3, -4), (-4, -3) $.

10)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 2xy = 5 \\ y^2 - 4xy = -4 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5, чтобы избавиться от свободных членов при сложении:

$$ \begin{cases} 4x^2 + 8xy = 20 \\ 5y^2 - 20xy = -20 \end{cases} $$

Сложим полученные уравнения:

$ (4x^2 + 8xy) + (5y^2 - 20xy) = 20 - 20 $

$ 4x^2 - 12xy + 5y^2 = 0 $

Это однородное уравнение. Разделим его на $ y^2 $ (предполагая $ y \ne 0 $; если $ y=0 $, то из второго уравнения $ 0=-4 $, что неверно):

$ 4(\frac{x}{y})^2 - 12(\frac{x}{y}) + 5 = 0 $

Сделаем замену $ t = \frac{x}{y} $: $ 4t^2 - 12t + 5 = 0 $.

$ D = (-12)^2 - 4(4)(5) = 144 - 80 = 64 = 8^2 $.

$ t_{1,2} = \frac{12 \pm 8}{8} \implies t_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}, t_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $.

Случай 1: $ \frac{x}{y} = \frac{5}{2} \implies x = \frac{5}{2}y $.

Подставим в первое уравнение исходной системы: $ (\frac{5}{2}y)^2 + 2(\frac{5}{2}y)y = 5 \implies \frac{25}{4}y^2 + 5y^2 = 5 \implies \frac{45}{4}y^2 = 5 \implies y^2 = \frac{20}{45}=\frac{4}{9} \implies y=\pm\frac{2}{3} $.

Если $ y_1 = \frac{2}{3} $, то $ x_1 = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{3} $. Решение: $ (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}) $.

Если $ y_2 = -\frac{2}{3} $, то $ x_2 = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{5}{3} $. Решение: $ (-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}) $.

Случай 2: $ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{2}y $.

Подставим в первое уравнение: $ (\frac{1}{2}y)^2 + 2(\frac{1}{2}y)y = 5 \implies \frac{1}{4}y^2 + y^2 = 5 \implies \frac{5}{4}y^2 = 5 \implies y^2 = 4 \implies y=\pm 2 $.

Если $ y_3=2 $, то $ x_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $. Решение: $ (1, 2) $.

Если $ y_4=-2 $, то $ x_4 = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1 $. Решение: $ (-1, -2) $.

Ответ: $ (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}), (-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}), (1, 2), (-1, -2) $.