Номер 978, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

978. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x > -1,2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x > 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x \geq 6; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 \leq 0, \\ x \geq 6; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > 1; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > -\frac{1}{3}; \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > -2; \end{cases} $

8) $ \begin{cases} 6x^2 + x - 2 \geq 0, \\ x \leq \frac{1}{2}. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x > -1,2. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 6$. Приравняем его к нулю: $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = 6$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-1; 6)$.

Второе неравенство системы $x > -1,2$ задает промежуток $x \in (-1,2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-1; 6) \cap (-1,2; +\infty)$. Общим решением является интервал, который удовлетворяет обоим условиям. Это интервал $(-1; 6)$.

Ответ: $x \in (-1; 6)$.

2) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x > 0. \end{cases}$

Решение первого неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$ было найдено в предыдущем пункте: $x \in (-1; 6)$.

Второе неравенство системы $x > 0$ задает промежуток $x \in (0; +\infty)$.

Найдем пересечение полученных промежутков: $x \in (-1; 6) \cap (0; +\infty)$. Общей частью этих двух интервалов является интервал $(0; 6)$.

Ответ: $x \in (0; 6)$.

3) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x \ge 6. \end{cases}$

Решение первого неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$ известно: $x \in (-1; 6)$.

Второе неравенство системы $x \ge 6$ задает промежуток $x \in [6; +\infty)$.

Найдем пересечение этих двух множеств: $x \in (-1; 6) \cap [6; +\infty)$. Первый интервал содержит числа строго меньше 6, а второй — числа, которые больше или равны 6. У этих множеств нет общих точек.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

4) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x - 6 \le 0, \\ x \ge 6. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 5x - 6 \le 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ равны -1 и 6. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in [-1; 6]$.

Второе неравенство системы $x \ge 6$ задает промежуток $x \in [6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-1; 6] \cap [6; +\infty)$. Единственная точка, которая принадлежит обоим множествам, — это точка $x=6$.

Ответ: $x = 6$.

5) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > 1. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $6x^2 + x - 2 > 0$. Найдем корни уравнения $6x^2 + x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - 7}{12} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ветви параболы $y = 6x^2 + x - 2$ направлены вверх ($a=6 > 0$), поэтому неравенство $6x^2 + x - 2 > 0$ выполняется за пределами корней. Решение: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Второе неравенство системы $x > 1$ задает промежуток $x \in (1; +\infty)$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(1; +\infty)$. Так как $1 > \frac{1}{2}$, то пересечением будет интервал $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

6) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > -\frac{1}{3}. \end{cases}$

Решение первого неравенства $6x^2 + x - 2 > 0$ было найдено в пункте 5: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Второе неравенство $x > -\frac{1}{3}$ задает промежуток $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Сравним $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{1}{3}$. Так как $-\frac{2}{3} < -\frac{1}{3}$, интервал $(-\infty; -\frac{2}{3})$ не имеет пересечения с $(-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Остается найти пересечение $(\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(-\frac{1}{3}; +\infty)$. Так как $\frac{1}{2} > -\frac{1}{3}$, их пересечением будет интервал $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

7) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > -2. \end{cases}$

Решение первого неравенства $6x^2 + x - 2 > 0$ известно: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Второе неравенство $x > -2$ задает промежуток $x \in (-2; +\infty)$.

Найдем пересечение $(-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(-2; +\infty)$.

Пересечение первого интервала $(-\infty; -\frac{2}{3})$ с $(-2; +\infty)$ дает $(-2; -\frac{2}{3})$.

Пересечение второго интервала $(\frac{1}{2}; +\infty)$ с $(-2; +\infty)$ дает $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Объединяя эти результаты, получаем решение системы.

Ответ: $x \in (-2; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

8) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 6x^2 + x - 2 \ge 0, \\ x \le \frac{1}{2}. \end{cases}$

Решим первое неравенство $6x^2 + x - 2 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $6x^2 + x - 2 = 0$ равны $-\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется на лучах за пределами корней, включая сами корни. Решение: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

Второе неравенство системы $x \le \frac{1}{2}$ задает промежуток $x \in (-\infty; \frac{1}{2}]$.

Найдем пересечение множеств $((-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty))$ и $(-\infty; \frac{1}{2}]$.

Пересечение первого луча $(-\infty; -\frac{2}{3}]$ с $(-\infty; \frac{1}{2}]$ дает $(-\infty; -\frac{2}{3}]$.

Пересечение второго луча $[\frac{1}{2}; +\infty)$ с $(-\infty; \frac{1}{2}]$ дает единственную точку $\{ \frac{1}{2} \}$.

Объединяя эти результаты, получаем решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup \{ \frac{1}{2} \}$.