Номер 976, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

976. Решите неравенство:

1) $x^2 - 4x + 3 > 0$;

2) $x^2 - 6x - 40 \leq 0$;

3) $x^2 + x + 1 \geq 0$;

4) $x^2 - x + 1 < 0$;

5) $-3x^2 + 2x + 1 > 0$;

6) $x - x^2 < 0$;

7) $x^2 + 25x \geq 0$;

8) $0,1x^2 - 2 \leq 0$.

1) $x^2 - 4x + 3 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Также можно найти корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$.

$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$, $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный $1$) положителен. Парабола пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=3$.

Значения функции $y = x^2 - 4x + 3$ положительны на интервалах, где парабола находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

2) $x^2 - 6x - 40 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 40 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{6 \pm 14}{2}$.

$x_1 = \frac{6 - 14}{2} = -4$, $x_2 = \frac{6 + 14}{2} = 10$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x - 40$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-4$ и $x=10$.

Нам нужно найти, где $x^2 - 6x - 40 \le 0$. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-4; 10]$.

Ответ: $x \in [-4; 10]$.

3) $x^2 + x + 1 \ge 0$

Рассмотрим уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный), значит ветви параболы $y = x^2 + x + 1$ направлены вверх. Поскольку парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вверх, она вся расположена выше оси Ox.

Это означает, что выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно при любом значении $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 + x + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $x^2 - x + 1 < 0$

Рассмотрим уравнение $x^2 - x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), парабола $y = x^2 - x + 1$ полностью лежит выше оси Ox.

Это означает, что выражение $x^2 - x + 1$ всегда принимает положительные значения.

Неравенство $x^2 - x + 1 < 0$ не имеет решений, так как левая часть всегда больше нуля.

Ответ: нет решений.

5) $-3x^2 + 2x + 1 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $3x^2 - 2x - 1 < 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$.

$x_1 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x - 1$ направлены вверх ($a=3>0$). Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.

Неравенство $3x^2 - 2x - 1 < 0$ выполняется при $x \in (-\frac{1}{3}; 1)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; 1)$.

6) $x - x^2 < 0$

Перепишем неравенство в стандартном виде: $-x^2 + x < 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 - x > 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x - 1) > 0$.

Корни уравнения $x(x-1)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=1$.

Ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; \infty)$.

7) $x^2 + 25x \ge 0$

Разложим левую часть на множители: $x(x + 25) \ge 0$.

Корни уравнения $x(x+25)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=-25$.

Ветви параболы $y = x^2 + 25x$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) на лучах, находящихся вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Расположим корни на числовой оси: $-25$ и $0$.

Решение: $x \in (-\infty; -25] \cup [0; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -25] \cup [0; \infty)$.

8) $0.1x^2 - 2 \le 0$

Перенесем $-2$ в правую часть: $0.1x^2 \le 2$.

Умножим обе части на $10$: $x^2 \le 20$.

Это неравенство равносильно системе: $\begin{cases} x \le \sqrt{20} \\ x \ge -\sqrt{20} \end{cases}$

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Таким образом, $-2\sqrt{5} \le x \le 2\sqrt{5}$.

Решение можно записать в виде отрезка: $x \in [-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}]$.

Ответ: $x \in [-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}]$.