Номер 977, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

977. Найдите целые решения неравенства:

1) $\frac{1}{3}x^2 + 3x + 6 < 0;$

2) $-4x^2 + 3x + 1 \geq 0.$

1) Для решения неравенства $\frac{1}{3}x^2 + 3x + 6 < 0$ сначала избавимся от дробного коэффициента, умножив обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится: $x^2 + 9x + 18 < 0$. Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 9x + 18 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 3}{2} = -6$ $x_2 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 3}{2} = -3$ Графиком функции $y = x^2 + 9x + 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут отрицательными ($< 0$) на интервале между корнями. Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-6; -3)$. Целые числа, входящие в этот интервал: -5 и -4.

Ответ: -5; -4.

2) Рассмотрим неравенство $-4x^2 + 3x + 1 \ge 0$. Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $4x^2 - 3x - 1 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 3x - 1 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ $x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$ Графиком функции $y = 4x^2 - 3x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут не положительными ($\le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решение неравенства есть отрезок $[-\frac{1}{4}; 1]$. Целые числа, входящие в этот отрезок: 0 и 1.

Ответ: 0; 1.