Номер 973, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

973. При каком значении m:

1) наименьшее значение функции $y = x^2 - 6x + m$ равно $-8$;

2) наибольшее значение функции $y = -x^2 + 4x - m$ равно 12?

1)

Функция $y = x^2 - 6x + m$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ для функции $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а $y_0$ является значением функции в точке $x_0$.

Для функции $y = x^2 - 6x + m$ имеем $a=1$ и $b=-6$. Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем ординату вершины, которая и есть наименьшее значение функции, подставив $x_0 = 3$ в уравнение:

$y_0 = (3)^2 - 6(3) + m = 9 - 18 + m = m - 9$

По условию задачи, наименьшее значение функции равно -8. Приравниваем полученное выражение к -8 и находим $m$:

$m - 9 = -8$

$m = -8 + 9$

$m = 1$

Ответ: 1

2)

Функция $y = -x^2 + 4x - m$ также является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число). Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Для функции $y = -x^2 + 4x - m$ имеем $a=-1$ и $b=4$. Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$

Теперь найдем ординату вершины, которая и есть наибольшее значение функции, подставив $x_0 = 2$ в уравнение:

$y_0 = -(2)^2 + 4(2) - m = -4 + 8 - m = 4 - m$

По условию задачи, наибольшее значение функции равно 12. Приравниваем полученное выражение к 12 и находим $m$:

$4 - m = 12$

$-m = 12 - 4$

$-m = 8$

$m = -8$

Ответ: -8