Номер 967, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

967. Постройте график данной функции, найдите её область значений, промежутки возрастания и убывания:

1) $y = -2x^2 + 1;$

2) $y = 0.5x^2 - 2;$

3) $y = x^2 + 6x + 5;$

4) $y = 4x - x^2;$

5) $y = -x^2 + 4x - 3;$

6) $y = x^2 - 4x + 5;$

7) $y = 2x^2 - 3x - 2;$

8) $y = -3x^2 + 8x + 3.$

1)

Рассмотрим функцию $y = -2x^2 + 1$.

Построение графика:
Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$.

$y_v = -2(0)^2 + 1 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=0$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 1)$; с осью OX — решим уравнение $-2x^2 + 1 = 0$, откуда $x^2 = \frac{1}{2}$, то есть $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки пересечения: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины $y_v=1$, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 1]$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $(-\infty, 1]$. Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$. Промежуток убывания: $[0, +\infty)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = 0.5x^2 - 2$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 0.5 > 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 0.5} = 0$.

$y_v = 0.5(0)^2 - 2 = -2$.

Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Ось симметрии — прямая $x=0$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, -2)$; с осью OX — решим уравнение $0.5x^2 - 2 = 0$, откуда $x^2 = 4$, то есть $x = \pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины $y_v=-2$, область значений функции: $E(y) = [-2, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[-2, +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$. Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$.

3)

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x + 5$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 1 > 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

$y_v = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(-3, -4)$. Ось симметрии — прямая $x=-3$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 5)$; с осью OX — решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета корни $x_1=-1, x_2=-5$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(-5, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины $y_v=-4$, область значений функции: $E(y) = [-4, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$ и возрастает на промежутке $[-3, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[-4, +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty, -3]$. Промежуток возрастания: $[-3, +\infty)$.

4)

Рассмотрим функцию $y = 4x - x^2$, или $y = -x^2 + 4x$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как $a = -1 < 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

$y_v = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 0)$; с осью OX — решим уравнение $-x^2 + 4x = 0$, откуда $-x(x-4)=0$, то есть $x=0$ или $x=4$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины $y_v=4$, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 4]$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$ и убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $(-\infty, 4]$. Промежуток возрастания: $(-\infty, 2]$. Промежуток убывания: $[2, +\infty)$.

5)

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 4x - 3$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как $a = -1 < 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

$y_v = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, -3)$; с осью OX — решим уравнение $-x^2 + 4x - 3 = 0$, или $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1=1, x_2=3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины $y_v=1$, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 1]$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$ и убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $(-\infty, 1]$. Промежуток возрастания: $(-\infty, 2]$. Промежуток убывания: $[2, +\infty)$.

6)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x + 5$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 1 > 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_v = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 5)$. Для нахождения точек пересечения с осью OX решим уравнение $x^2 - 4x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины $y_v=1$, область значений функции: $E(y) = [1, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[1, +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$. Промежуток возрастания: $[2, +\infty)$.

7)

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3x - 2$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 2 > 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.

$y_v = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) - 2 = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{25}{8}$.

Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$. Ось симметрии — прямая $x=\frac{3}{4}$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, -2)$; с осью OX — решим уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(-\frac{1}{2}, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины $y_v=-\frac{25}{8}$, область значений функции: $E(y) = [-\frac{25}{8}, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{4}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{3}{4}, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[-\frac{25}{8}, +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty, \frac{3}{4}]$. Промежуток возрастания: $[\frac{3}{4}, +\infty)$.

8)

Рассмотрим функцию $y = -3x^2 + 8x + 3$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как $a = -3 < 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-3)} = \frac{4}{3}$.

$y_v = -3(\frac{4}{3})^2 + 8(\frac{4}{3}) + 3 = -3 \cdot \frac{16}{9} + \frac{32}{3} + 3 = -\frac{16}{3} + \frac{32}{3} + \frac{9}{3} = \frac{25}{3}$.

Вершина параболы находится в точке $(\frac{4}{3}, \frac{25}{3})$. Ось симметрии — прямая $x=\frac{4}{3}$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 3)$; с осью OX — решим уравнение $-3x^2 + 8x + 3 = 0$, или $3x^2 - 8x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$. Корни: $x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{6}$, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$. Точки пересечения: $(3, 0)$ и $(-\frac{1}{3}, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины $y_v=\frac{25}{3}$, область значений функции: $E(y) = (-\infty, \frac{25}{3}]$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{4}{3}]$ и убывает на промежутке $[\frac{4}{3}, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $(-\infty, \frac{25}{3}]$. Промежуток возрастания: $(-\infty, \frac{4}{3}]$. Промежуток убывания: $[\frac{4}{3}, +\infty)$.