Номер 968, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

968. При каком значении c график функции $y = x^2 - 6x + c$:

1) проходит через начало координат;

2) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

3) пересекает ось ординат в точке $A(0; -4)$;

4) пересекает ось абсцисс в точке $B(2; 0)?$

Дан график функции $y = x^2 - 6x + c$. Нам нужно найти значение параметра $c$ для каждого из четырех условий.

1) проходит через начало координат;

График функции проходит через начало координат, то есть через точку с координатами $(0; 0)$, если эти координаты удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в уравнение $y = x^2 - 6x + c$:

$0 = 0^2 - 6 \cdot 0 + c$

$0 = 0 - 0 + c$

$c = 0$

Таким образом, при $c=0$ график функции проходит через начало координат.

Ответ: $c = 0$.

2) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

График квадратичной функции (парабола) имеет с осью абсцисс (осью Ox) только одну общую точку, если соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 6x + c = 0$ имеет ровно один корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ уравнения равен нулю.

Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + d = 0$ (здесь $d$ используется вместо $c$, чтобы не путать с параметром) имеет вид: $D = b^2 - 4ad$. В нашем случае, для уравнения $x^2 - 6x + c = 0$, коэффициенты равны: $a=1$, $b=-6$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 0$

$36 - 4c = 0$

$4c = 36$

$c = \frac{36}{4}$

$c = 9$

Таким образом, при $c=9$ график функции касается оси абсцисс в одной точке.

Ответ: $c = 9$.

3) пересекает ось ординат в точке А(0; -4);

Если график функции пересекает ось ординат (ось Oy) в точке A(0; -4), это означает, что данная точка принадлежит графику. Следовательно, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x=0$ и $y=-4$ в уравнение $y = x^2 - 6x + c$:

$-4 = 0^2 - 6 \cdot 0 + c$

$-4 = 0 - 0 + c$

$c = -4$

Таким образом, при $c=-4$ график функции пересекает ось ординат в точке A(0; -4).

Ответ: $c = -4$.

4) пересекает ось абсцисс в точке В(2; 0)?

Если график функции пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точке B(2; 0), это означает, что данная точка принадлежит графику. Следовательно, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x=2$ и $y=0$ в уравнение $y = x^2 - 6x + c$:

$0 = 2^2 - 6 \cdot 2 + c$

$0 = 4 - 12 + c$

$0 = -8 + c$

$c = 8$

Таким образом, при $c=8$ график функции пересекает ось абсцисс в точке B(2; 0).

Ответ: $c = 8$.