Номер 966, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

966. Найдите значения $b$ и $c$, при которых функция $y = x^2 + bx + c$:

1) имеет единственный нуль в точке $x = -3$;

2) принимает наименьшее значение, равное 4, в точке $x = 0$;

3) имеет нули в точках $x = -2$ и $x = 5$.

1) имеет единственный нуль в точке x = –3;

Квадратичная функция $y = x^2 + bx + c$ имеет единственный нуль, если график функции (парабола) касается оси абсцисс в одной точке. Эта точка является вершиной параболы. Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(–3, 0)$.

Координата абсциссы вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$ и $x_0 = -3$. Подставим эти значения в формулу: $-3 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$ $-3 = -\frac{b}{2}$ $b = 6$

Теперь, зная значение $b$, мы можем найти $c$, подставив координаты точки $(–3, 0)$ в уравнение функции: $y = x^2 + 6x + c$ $0 = (-3)^2 + 6(-3) + c$ $0 = 9 - 18 + c$ $0 = -9 + c$ $c = 9$

Другой способ — использовать тот факт, что если у квадратного трехчлена есть один корень $x_0$, то его можно представить в виде $a(x-x_0)^2$. В нашем случае $a=1$ и $x_0 = -3$: $y = (x - (-3))^2 = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Сравнивая это с $y = x^2 + bx + c$, получаем $b=6$ и $c=9$.

Ответ: $b=6$, $c=9$.

2) принимает наименьшее значение, равное 4, в точке x = 0;

Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение в своей вершине. По условию, наименьшее значение функции равно 4 и достигается при $x=0$. Это означает, что вершина параболы имеет координаты $(0, 4)$.

Используем формулу для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $0 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$ $0 = -\frac{b}{2}$ $b = 0$

Теперь подставим координаты вершины $(0, 4)$ и значение $b=0$ в уравнение функции, чтобы найти $c$: $y = x^2 + 0 \cdot x + c$ $4 = 0^2 + 0 + c$ $c = 4$

Ответ: $b=0$, $c=4$.

3) имеет нули в точках x = –2 и x = 5.

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Значит, точки $(–2, 0)$ и $(5, 0)$ принадлежат графику функции. Мы можем составить систему уравнений, подставив эти точки в уравнение $y = x^2 + bx + c$.

Для точки $(–2, 0)$: $0 = (-2)^2 + b(-2) + c$ $0 = 4 - 2b + c$ $2b - c = 4$ (1)

Для точки $(5, 0)$: $0 = 5^2 + b(5) + c$ $0 = 25 + 5b + c$ $5b + c = -25$ (2)

Теперь решим систему уравнений. Сложим уравнение (1) и (2): $(2b - c) + (5b + c) = 4 + (-25)$ $7b = -21$ $b = -3$

Подставим значение $b=-3$ в первое уравнение: $2(-3) - c = 4$ $-6 - c = 4$ $-c = 10$ $c = -10$

Другой способ — использовать теорему Виета для корней $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$ приведенного квадратного уравнения $x^2+bx+c=0$: $x_1 + x_2 = -b \implies -2 + 5 = -b \implies 3 = -b \implies b = -3$ $x_1 \cdot x_2 = c \implies (-2) \cdot 5 = c \implies c = -10$

Ответ: $b=-3$, $c=-10$.