Номер 959, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

959. На рисунке 116 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Пользуясь рисунком, укажите:

1) нули функции;

2) промежутки возрастания и убывания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Рис. 116

1) нули функции

Нули функции – это значения аргумента x, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. Графически это абсциссы точек пересечения графика функции с осью x.
Из рисунка видно, что график пересекает ось абсцисс в точках с координатами $x = -4$, $x = -1$, $x = 2$ и $x = 4$.
Ответ: -4, -1, 2, 4.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Промежутки возрастания – это интервалы, на которых график функции "идёт вверх" при движении слева направо. Промежутки убывания – это интервалы, на которых график "идёт вниз".
Для определения этих промежутков найдём точки экстремумов (локальные минимумы и максимумы).

• Локальные минимумы (впадины) находятся в точках, где $x = -2$ и $x = 3$.
• Локальный максимум (вершина) находится в точке, где $x = 0$.

Функция возрастает на промежутках от точки минимума до точки максимума и от точки минимума вправо до бесконечности.
Функция убывает на промежутках от минус бесконечности до точки минимума и от точки максимума до точки минимума.
Таким образом:

• Промежутки возрастания функции: $[-2, 0]$ и $[3, +\infty)$.
• Промежутки убывания функции: $(-\infty, -2]$ и $[0, 3]$.

Ответ: промежутки возрастания: $[-2, 0] \cup [3, +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty, -2] \cup [0, 3]$.

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$

Решением неравенства $f(x) > 0$ являются все значения x, для которых график функции расположен выше оси абсцисс.
Используя нули функции ($x = -4, -1, 2, 4$), определим интервалы, где $f(x)$ положительна.
Из графика видно, что $y > 0$ на следующих интервалах:

• от минус бесконечности до -4, то есть $x \in (-\infty, -4)$;
• между -1 и 2, то есть $x \in (-1, 2)$;
• от 4 до плюс бесконечности, то есть $x \in (4, +\infty)$.

Объединение этих интервалов является множеством решений неравенства.
Ответ: $(-\infty, -4) \cup (-1, 2) \cup (4, +\infty)$.