Номер 956, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

956. При каких значениях $a$ множеством решений системы неравенств

$\begin{cases} x \ge 3, \\ x > a \end{cases}$

является:

1) промежуток $[7; +\infty)$;

2) промежуток $[3; +\infty)$;

3) промежуток $(-2; +\infty)$;

4) пустое множество?

Проанализируем данную систему неравенств:

$$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x > a \end{cases} $$

Решением системы является множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это соответствует пересечению промежутков $[3; +\infty)$ и $(a; +\infty)$. Чтобы найти это пересечение, необходимо сравнить $a$ и 3.

1. Если $a < 3$, то условие $x \ge 3$ является более сильным (более ограничивающим), чем $x > a$. Любое число, которое больше или равно 3, автоматически будет больше $a$. Следовательно, решением системы будет промежуток $[3; +\infty)$.

2. Если $a \ge 3$, то условие $x > a$ является более сильным. Любое число, которое больше $a$, автоматически будет больше или равно 3. Следовательно, решением системы будет промежуток $(a; +\infty)$.

Теперь, основываясь на этом, ответим на вопросы.

1) промежуток $[7; +\infty)$

Мы ищем значения $a$, при которых решением является $[7; +\infty)$. Сравним этот промежуток с двумя возможными формами решения.

Решение не может быть $[3; +\infty)$, так как $3 \ne 7$.

Решение не может быть $(a; +\infty)$, так как этот промежуток является открытым (не включает левую границу $a$), а требуемый промежуток $[7; +\infty)$ — замкнутым (включает левую границу 7).

Следовательно, не существует таких значений $a$, при которых решением системы является промежуток $[7; +\infty)$.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

2) промежуток $[3; +\infty)$

Мы ищем значения $a$, при которых решением является $[3; +\infty)$. Из нашего анализа следует, что это происходит в том и только в том случае, когда $a < 3$.

Ответ: $a < 3$.

3) промежуток $(-2; +\infty)$

Мы ищем значения $a$, при которых решением является $(-2; +\infty)$. Решение не может быть $[3; +\infty)$, так как это разные промежутки. Решение вида $(a; +\infty)$ совпало бы с $(-2; +\infty)$ при $a = -2$. Однако, такой вид решения возможен только при условии $a \ge 3$. Поскольку $-2 < 3$, возникает противоречие. Следовательно, таких значений $a$ не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

4) пустое множество

Мы ищем значения $a$, при которых у системы нет решений. Оба возможных вида решения, $[3; +\infty)$ и $(a; +\infty)$, являются непустыми интервалами, так как они простираются до $+\infty$. Таким образом, решение системы никогда не является пустым множеством. Следовательно, таких значений $a$ не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.