Номер 951, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

951. Придумайте систему двух линейных неравенств с одной переменной, множеством решений которой является:

1) промежуток $(-2; +\infty)$;

2) промежуток $[-4; \frac{1}{3}]$;

3) промежуток $(-\infty; -10]$;

4) пустое множество;

5) множество, состоящее из одного числа $8$;

6) множество действительных чисел.

1) промежуток $(-2; +∞)$

Чтобы решением системы был промежуток $x \in (-2; +\infty)$, нужно, чтобы пересечение решений двух неравенств давало этот промежуток. Это произойдет, если одно неравенство будет задавать луч $x > -2$, а второе — луч, который полностью включает в себя первый, например, $x > -5$.
Неравенство $x > -2$ можно записать в виде $x + 2 > 0$.
Неравенство $x > -5$ можно записать в виде $x + 5 > 0$.
Таким образом, мы можем составить следующую систему. Решением первого неравенства $x+2 > 0$ является промежуток $(-2; +\infty)$. Решением второго неравенства $x+5 > 0$ является промежуток $(-5; +\infty)$. Пересечение этих двух промежутков $(-2; +\infty) \cap (-5; +\infty)$ и есть искомый промежуток $(-2; +\infty)$.

Ответ: $$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases} $$

2) промежуток $\left[-4; \frac{1}{3}\right]$

Требуемый отрезок $x \in \left[-4; \frac{1}{3}\right]$ можно представить как пересечение двух условий: $x \ge -4$ и $x \le \frac{1}{3}$. Каждое из этих условий является линейным неравенством. Запишем их в стандартной форме.
Неравенство $x \ge -4$ эквивалентно $x + 4 \ge 0$.
Неравенство $x \le \frac{1}{3}$ эквивалентно $3x \le 1$ или $3x - 1 \le 0$.
Система, составленная из этих двух неравенств, будет иметь своим решением пересечение множеств $[-4; +\infty)$ и $\left(-\infty; \frac{1}{3}\right]$, что и дает отрезок $\left[-4; \frac{1}{3}\right]$.

Ответ: $$ \begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 3x - 1 \le 0 \end{cases} $$

3) промежуток $(-\infty; -10]$

Промежуток $x \in (-\infty; -10]$ можно получить как пересечение двух лучей, где один является подмножеством другого. Например, возьмем лучи $x \le -10$ и $x \le -1$.
Неравенство $x \le -10$ можно записать как $x + 10 \le 0$.
Неравенство $x \le -1$ можно записать как $x + 1 \le 0$.
Решением первого неравенства является $(-\infty; -10]$. Решением второго — $(-\infty; -1]$. Их пересечение $(-\infty; -10] \cap (-\infty; -1]$ дает требуемый промежуток $(-\infty; -10]$.

Ответ: $$ \begin{cases} x + 10 \le 0 \\ x + 1 \le 0 \end{cases} $$

4) пустое множество

Чтобы решением системы было пустое множество, множества решений составляющих ее неравенств не должны иметь общих точек (не должны пересекаться). Для этого можно взять два неравенства, задающих непересекающиеся лучи. Например, $x > 2$ и $x < 1$.
Неравенство $x > 2$ эквивалентно $x - 2 > 0$.
Неравенство $x < 1$ эквивалентно $x - 1 < 0$.
Решением первого неравенства является промежуток $(2; +\infty)$, а второго — $(-\infty; 1)$. Эти промежутки не пересекаются, следовательно, решение системы — пустое множество.

Ответ: $$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 1 < 0 \end{cases} $$

5) множество, состоящее из одного числа 8

Решение, состоящее из единственного числа $x=8$, можно получить как пересечение двух нестрогих неравенств, направленных в разные стороны от этого числа: $x \ge 8$ и $x \le 8$.
Неравенство $x \ge 8$ можно записать как $x - 8 \ge 0$.
Неравенство $x \le 8$ можно записать как $x - 8 \le 0$.
Можно также использовать другие коэффициенты, например, для $x \ge 8$ взять неравенство $3x \ge 24$, или $3x-24 \ge 0$. Для $x \le 8$ взять $5x \le 40$, или $5x-40 \le 0$. Решением системы будет пересечение множеств $[8; +\infty)$ и $(-\infty; 8]$, что равно единственному числу $8$.

Ответ: $$ \begin{cases} 3x - 24 \ge 0 \\ 5x - 40 \le 0 \end{cases} $$

6) множество действительных чисел

Чтобы решением системы было множество всех действительных чисел ($x \in R$), необходимо, чтобы решением каждого из двух неравенств в системе было множество $R$. Такое возможно, если неравенство после упрощения превращается в верное числовое тождество (например, $5 > 2$). Это происходит в линейных неравенствах вида $ax+b>c$, когда коэффициент $a$ при переменной $x$ равен нулю, а неравенство для свободных членов верно.
Например, рассмотрим неравенство $2(x+3) > 2x$. Раскрыв скобки, получим $2x+6 > 2x$, что равносильно $6 > 0$. Это верно для любого $x$.
Аналогично, неравенство $5-x < 10-x$ равносильно $5 < 10$, что также верно для любого $x$.
Пересечение множеств решений $R \cap R$ дает $R$.

Ответ: $$ \begin{cases} 2(x+3) > 2x \\ 5-x < 10-x \end{cases} $$