Номер 944, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

944. Придумайте неравенство вида $ax + b > 0$, где $x$ – переменная, $a$ и $b$ – некоторые числа, множеством решений которого является:

1) промежуток $(-3; +\infty)$;

2) промежуток $(-\infty; 1,6)$;

3) множество действительных чисел;

4) пустое множество.

Общий вид неравенства: $ax + b > 0$. Решение этого неравенства зависит от коэффициента $a$.

Если $a > 0$, то $ax > -b$, и, разделив на положительное число $a$, получаем $x > -b/a$. Множество решений — промежуток $(-b/a; +\infty)$.

Если $a < 0$, то $ax > -b$, и, разделив на отрицательное число $a$, меняем знак неравенства: $x < -b/a$. Множество решений — промежуток $(-\infty; -b/a)$.

Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x + b > 0$, то есть $b > 0$. Если это верное числовое неравенство (т.е. $b$ — положительное число), то решением является любое действительное число. Если это неверное числовое неравенство (т.е. $b \le 0$), то решений нет.

Исходя из этого, подберем коэффициенты $a$ и $b$ для каждого случая.

1) промежуток $(-3; +\infty)$

Требуемое множество решений имеет вид $x > -3$. Это соответствует случаю, когда $a > 0$. Решением неравенства $ax + b > 0$ при $a > 0$ является промежуток $x > -b/a$. Следовательно, нам нужно, чтобы выполнялось равенство: $-b/a = -3$ $b/a = 3$ $b = 3a$ Мы можем выбрать любое положительное значение для $a$. Возьмем, к примеру, $a = 1$. Тогда $b = 3 \cdot 1 = 3$. Подставим эти значения в исходное неравенство: $1 \cdot x + 3 > 0$, что равносильно $x + 3 > 0$. Проверим решение: $x > -3$. Это соответствует заданному промежутку $(-3; +\infty)$.

Ответ: $x + 3 > 0$.

2) промежуток $(-\infty; 1,6)$

Требуемое множество решений имеет вид $x < 1,6$. Это соответствует случаю, когда $a < 0$. Решением неравенства $ax + b > 0$ при $a < 0$ является промежуток $x < -b/a$. Следовательно, нам нужно, чтобы выполнялось равенство: $-b/a = 1,6$ $b/a = -1,6$ $b = -1,6a$ Мы можем выбрать любое отрицательное значение для $a$. Возьмем, к примеру, $a = -1$. Тогда $b = -1,6 \cdot (-1) = 1,6$. Подставим эти значения в исходное неравенство: $-1 \cdot x + 1,6 > 0$, что равносильно $-x + 1,6 > 0$. Проверим решение: $-x > -1,6$. Умножив обе части на $-1$ и поменяв знак, получим $x < 1,6$. Это соответствует заданному промежутку $(-\infty; 1,6)$. Можно также подобрать целые коэффициенты. Например, если взять $a = -5$, то $b = -1,6 \cdot (-5) = 8$. Неравенство будет $-5x + 8 > 0$.

Ответ: $-x + 1,6 > 0$.

3) множество действительных чисел

Чтобы решением неравенства было множество всех действительных чисел, неравенство должно быть верным при любом значении $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a = 0$. При $a = 0$ неравенство $ax + b > 0$ превращается в $0 \cdot x + b > 0$, или $b > 0$. Чтобы это неравенство было верным для всех $x$, нужно, чтобы числовое неравенство $b > 0$ было истинным. Для этого достаточно выбрать любое положительное число $b$. Возьмем $a = 0$ и, например, $b = 5$. Получаем неравенство $0 \cdot x + 5 > 0$, или $5 > 0$. Это верное числовое неравенство, поэтому оно справедливо для любого действительного $x$.

Ответ: $0 \cdot x + 5 > 0$.

4) пустое множество

Чтобы у неравенства не было решений (решением было пустое множество), оно должно быть неверным при любом значении $x$. Это, как и в предыдущем пункте, возможно только если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a = 0$. При $a = 0$ неравенство $ax + b > 0$ снова принимает вид $b > 0$. Чтобы это неравенство не имело решений, числовое неравенство $b > 0$ должно быть ложным. Это произойдет, если $b$ будет меньше или равно нулю ($b \le 0$). Возьмем $a = 0$ и, например, $b = -2$. Получаем неравенство $0 \cdot x - 2 > 0$, или $-2 > 0$. Это неверное числовое неравенство, поэтому оно не имеет решений ни при каком значении $x$.

Ответ: $0 \cdot x - 2 > 0$.