Номер 946, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

946. Чему равно наименьшее целое решение неравенства $ \frac{3x+5}{4} - 1 \leq \frac{x-2}{3} + x? $

Для решения данного неравенства сначала избавимся от знаменателей. Исходное неравенство:

$ \frac{3x + 5}{4} - 1 \leq \frac{x - 2}{3} + x $

Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 3 равен 12. Умножим обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей. Знак неравенства при умножении на положительное число не меняется.

$ 12 \cdot \left( \frac{3x + 5}{4} - 1 \right) \leq 12 \cdot \left( \frac{x - 2}{3} + x \right) $

Раскроем скобки в обеих частях:

$ \frac{12(3x + 5)}{4} - 12 \cdot 1 \leq \frac{12(x - 2)}{3} + 12x $

Сократим дроби:

$ 3(3x + 5) - 12 \leq 4(x - 2) + 12x $

Теперь раскроем скобки:

$ 9x + 15 - 12 \leq 4x - 8 + 12x $

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$ 9x + 3 \leq 16x - 8 $

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Перенесем $9x$ в правую часть, а $-8$ — в левую, изменив их знаки на противоположные:

$ 3 + 8 \leq 16x - 9x $

Упростим обе части:

$ 11 \leq 7x $

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 7:

$ \frac{11}{7} \leq x $

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$ x \geq \frac{11}{7} $

Чтобы найти наименьшее целое решение, представим дробь $ \frac{11}{7} $ в виде смешанного числа:

$ \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} $

Таким образом, $ x \geq 1\frac{4}{7} $. Нам нужно найти наименьшее целое число, которое больше или равно $1\frac{4}{7}$. На числовой прямой это будет первое целое число, расположенное правее $1\frac{4}{7}$. Этим числом является 2.

Ответ: 2