Номер 953, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

953. Решите двойное неравенство:

1) $-3 \le 2x - 1 < 5;$

2) $-1 < 3x - 9 \le 6;$

3) $2 < 7 - 4x < 11;$

4) $-2 \le \frac{1-x}{3} \le 1.$

1) Решим двойное неравенство $-3 \le 2x - 1 < 5$.

Чтобы найти $x$, сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-1$ в средней части:

$-3 + 1 \le 2x - 1 + 1 < 5 + 1$

$-2 \le 2x < 6$

Теперь разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-2}{2} \le \frac{2x}{2} < \frac{6}{2}$

$-1 \le x < 3$

Решением является числовой промежуток от -1 (включительно) до 3 (не включая).

Ответ: $x \in [-1; 3)$.

2) Решим двойное неравенство $-1 < 3x - 9 \le 6$.

Сначала прибавим 9 ко всем частям неравенства:

$-1 + 9 < 3x - 9 + 9 \le 6 + 9$

$8 < 3x \le 15$

Теперь разделим все части на 3. Знак неравенства не меняется:

$\frac{8}{3} < \frac{3x}{3} \le \frac{15}{3}$

$\frac{8}{3} < x \le 5$

Решением является числовой промежуток от $\frac{8}{3}$ (не включая) до 5 (включительно).

Ответ: $x \in (\frac{8}{3}; 5]$.

3) Решим двойное неравенство $2 < 7 - 4x < 11$.

Сначала вычтем 7 из всех частей неравенства:

$2 - 7 < 7 - 4x - 7 < 11 - 7$

$-5 < -4x < 4$

Теперь разделим все части на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-5}{-4} > \frac{-4x}{-4} > \frac{4}{-4}$

$\frac{5}{4} > x > -1$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-1 < x < \frac{5}{4}$

Решением является интервал от -1 до $\frac{5}{4}$.

Ответ: $x \in (-1; \frac{5}{4})$.

4) Решим двойное неравенство $-2 \le \frac{1-x}{3} \le 1$.

Сначала умножим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$-2 \cdot 3 \le 3 \cdot \frac{1-x}{3} \le 1 \cdot 3$

$-6 \le 1 - x \le 3$

Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-6 - 1 \le 1 - x - 1 \le 3 - 1$

$-7 \le -x \le 2$

Умножим все части на -1, чтобы получить $x$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-7 \cdot (-1) \ge -x \cdot (-1) \ge 2 \cdot (-1)$

$7 \ge x \ge -2$

Запишем неравенство в привычном виде:

$-2 \le x \le 7$

Решением является числовой отрезок от -2 до 7 (включительно).

Ответ: $x \in [-2; 7]$.