Номер 949, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

949. Решите систему неравенств:

1) $$\begin{cases} x - 3 < 2x - 3, \\ 4x + 5 > 10 - x; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} 9 + 2x \leq 3x + 7, \\ x - 2 > 2x - 5; \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} (x - 5)^2 - 15 \geq (x - 3)(x - 4) - 50, \\ 4(x + 7) - 16 \geq 2 - x; \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} \frac{x - 1}{4} + \frac{x + 1,7}{3} \geq \frac{3x + 1}{5}, \\ \frac{x + 2}{4} - \frac{x + 8}{5} < \frac{3x - 1}{10}. \end{cases}$$

1)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x - 3 < 2x - 3, \\ 4x + 5 > 10 - x. \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$x - 3 < 2x - 3$

$x - 2x < -3 + 3$

$-x < 0$

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:

$x > 0$

Решаем второе неравенство:

$4x + 5 > 10 - x$

$4x + x > 10 - 5$

$5x > 5$

$x > 1$

Найдем пересечение решений $x > 0$ и $x > 1$. Общим решением является промежуток, удовлетворяющий обоим неравенствам. На числовой оси это будет область справа от 1.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 9 + 2x \le 3x + 7, \\ x - 2 > 2x - 5. \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$9 + 2x \le 3x + 7$

$2x - 3x \le 7 - 9$

$-x \le -2$

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:

$x \ge 2$

Решаем второе неравенство:

$x - 2 > 2x - 5$

$x - 2x > -5 + 2$

$-x > -3$

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:

$x < 3$

Найдем пересечение решений $x \ge 2$ и $x < 3$. Это будет промежуток от 2 (включительно) до 3 (не включительно).

Ответ: $x \in [2; 3)$.

3)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} (x - 5)^2 - 15 \ge (x - 3)(x - 4) - 50, \\ 4(x + 7) - 16 \ge 2 - x. \end{cases}$

Решаем первое неравенство. Раскроем скобки:

$(x^2 - 10x + 25) - 15 \ge (x^2 - 4x - 3x + 12) - 50$

$x^2 - 10x + 10 \ge x^2 - 7x - 38$

Переносим члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$-10x + 7x \ge -38 - 10$

$-3x \ge -48$

Делим обе части на -3 и меняем знак неравенства:

$x \le 16$

Решаем второе неравенство. Раскроем скобки:

$4x + 28 - 16 \ge 2 - x$

$4x + 12 \ge 2 - x$

$4x + x \ge 2 - 12$

$5x \ge -10$

$x \ge -2$

Найдем пересечение решений $x \le 16$ и $x \ge -2$. Это будет промежуток от -2 (включительно) до 16 (включительно).

Ответ: $x \in [-2; 16]$.

4)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{x-1}{4} + \frac{x+1,7}{3} \ge \frac{3x+1}{5}, \\ \frac{x+2}{4} - \frac{x+8}{5} < \frac{3x-1}{10}. \end{cases}$

Решаем первое неравенство. Найдем общий знаменатель для 4, 3 и 5. Это 60. Умножим обе части неравенства на 60:

$15(x-1) + 20(x+1,7) \ge 12(3x+1)$

Раскроем скобки:

$15x - 15 + 20x + 34 \ge 36x + 12$

$35x + 19 \ge 36x + 12$

$35x - 36x \ge 12 - 19$

$-x \ge -7$

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:

$x \le 7$

Решаем второе неравенство. Найдем общий знаменатель для 4, 5 и 10. Это 20. Умножим обе части неравенства на 20:

$5(x+2) - 4(x+8) < 2(3x-1)$

Раскроем скобки:

$5x + 10 - 4x - 32 < 6x - 2$

$x - 22 < 6x - 2$

$x - 6x < -2 + 22$

$-5x < 20$

Делим обе части на -5 и меняем знак неравенства:

$x > -4$

Найдем пересечение решений $x \le 7$ и $x > -4$. Это будет промежуток от -4 (не включительно) до 7 (включительно).

Ответ: $x \in (-4; 7]$.