Номер 948, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

948. Равносильны ли неравенства:

1) $ \frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{3} < 1 $ и $ 3(x+1) + 2(x-1) < 1 $;

2) $ (x+3)(x^2+4) > 0 $ и $ x+3 > 0 $;

3) $ x-1 > 3 $ и $ x-1 + \frac{1}{x-5} > 3 + \frac{1}{x-5} $;

4) $ x+2 < 1 $ и $ x+2 + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x} $?

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить равносильность, найдем решения для каждой пары неравенств.

Решим первое неравенство. Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 6. Так как 6 > 0, знак неравенства сохранится:

$ 6 \cdot \left(\frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{3}\right) < 6 \cdot 1 $

$ 3(x+1) + 2(x-1) < 6 $

$ 3x + 3 + 2x - 2 < 6 $

$ 5x + 1 < 6 $

$ 5x < 5 $

$ x < 1 $

Множество решений первого неравенства: $ (-\infty; 1) $.

Решим второе неравенство:

$ 3(x+1) + 2(x-1) < 1 $

$ 3x + 3 + 2x - 2 < 1 $

$ 5x + 1 < 1 $

$ 5x < 0 $

$ x < 0 $

Множество решений второго неравенства: $ (-\infty; 0) $.

Так как множества решений $ (-\infty; 1) $ и $ (-\infty; 0) $ не совпадают, неравенства не равносильны.

Ответ: нет.

Решим первое неравенство $ (x+3)(x^2+4) > 0 $.

Выражение $ x^2 $ всегда неотрицательно ($ x^2 \ge 0 $), поэтому выражение $ x^2+4 $ всегда положительно ($ x^2+4 \ge 4 > 0 $) для любого действительного значения $ x $.

Так как $ x^2+4 $ всегда положительно, мы можем разделить обе части неравенства на $ x^2+4 $, не меняя знака неравенства:

$ \frac{(x+3)(x^2+4)}{x^2+4} > \frac{0}{x^2+4} $

$ x+3 > 0 $

$ x > -3 $

Множество решений первого неравенства: $ (-3; +\infty) $.

Решим второе неравенство $ x+3 > 0 $:

$ x > -3 $

Множество решений второго неравенства: $ (-3; +\infty) $.

Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, они равносильны.

Ответ: да.

Решим первое неравенство $ x-1 > 3 $:

$ x > 4 $

Множество решений первого неравенства: $ (4; +\infty) $. Область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства - все действительные числа ($ x \in \mathbb{R} $).

Решим второе неравенство $ x-1 + \frac{1}{x-5} > 3 + \frac{1}{x-5} $.

ОДЗ этого неравенства определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $.

На ОДЗ можно вычесть из обеих частей неравенства выражение $ \frac{1}{x-5} $:

$ x-1 > 3 $

$ x > 4 $

Решение второго неравенства должно удовлетворять системе: $ \begin{cases} x > 4 \\ x \neq 5 \end{cases} $.

Множество решений второго неравенства: $ (4; 5) \cup (5; +\infty) $.

Сравнивая множества решений $ (4; +\infty) $ и $ (4; 5) \cup (5; +\infty) $, видим, что они не совпадают. Число 5 является решением первого неравенства, но не является решением второго из-за ОДЗ. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: нет.

Решим первое неравенство $ x+2 < 1 $:

$ x < -1 $

Множество решений первого неравенства: $ (-\infty; -1) $. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Решим второе неравенство $ x+2 + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x} $.

ОДЗ этого неравенства: $ x \neq 0 $.

На ОДЗ вычтем из обеих частей неравенства $ \frac{1}{x} $:

$ x+2 < 1 $

$ x < -1 $

Решение второго неравенства должно удовлетворять системе: $ \begin{cases} x < -1 \\ x \neq 0 \end{cases} $.

Так как интервал $ (-\infty; -1) $ не содержит точку 0, условие $ x \neq 0 $ выполняется для всех $ x < -1 $. Таким образом, множество решений второго неравенства также $ (-\infty; -1) $.

Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, они равносильны.

Ответ: да.