Номер 954, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

954. При каких значениях $a$ система неравенств имеет хотя бы одно решение:

1) $\begin{cases} x < 4, \\ x > a; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x \le 2, \\ x > a; \end{cases}$ 3) $\begin{cases} x \le -3, \\ x \ge a; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x \ge 1, \\ x \le a? \end{cases}$

1) Данная система неравенств: $ \begin{cases} x < 4 \\ x > a \end{cases} $ Решением системы является множество всех значений $x$, которые одновременно больше $a$ и меньше $4$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a < x < 4$.
Чтобы у этого неравенства было хотя бы одно решение, числовой промежуток $(a, 4)$ должен быть непустым. Это означает, что левая граница интервала должна быть строго меньше правой границы.
Таким образом, должно выполняться условие: $a < 4$.
Если $a \ge 4$, то пересечение множеств решений будет пустым.
Ответ: $a < 4$.

2) Данная система неравенств: $ \begin{cases} x \le 2 \\ x > a \end{cases} $ Решением системы является множество всех значений $x$, которые одновременно больше $a$ и меньше либо равны $2$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a < x \le 2$.
Чтобы у этого неравенства было хотя бы одно решение, числовой промежуток $(a, 2]$ должен быть непустым. Для этого левая граница интервала должна быть строго меньше правой границы.
Таким образом, должно выполняться условие: $a < 2$.
Если $a = 2$, неравенство примет вид $2 < x \le 2$, что не имеет решений. Если $a > 2$, решений также не будет.
Ответ: $a < 2$.

3) Данная система неравенств: $ \begin{cases} x \le -3 \\ x \ge a \end{cases} $ Решением системы является множество всех значений $x$, которые одновременно больше либо равны $a$ и меньше либо равны $-3$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a \le x \le -3$.
Чтобы у этого неравенства было хотя бы одно решение, числовой отрезок $[a, -3]$ должен быть непустым. Это означает, что левая граница отрезка должна быть меньше либо равна правой границе.
Таким образом, должно выполняться условие: $a \le -3$.
Если $a = -3$, неравенство примет вид $-3 \le x \le -3$, что имеет единственное решение $x = -3$. Если $a > -3$, решений не будет.
Ответ: $a \le -3$.

4) Данная система неравенств: $ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le a \end{cases} $ Решением системы является множество всех значений $x$, которые одновременно больше либо равны $1$ и меньше либо равны $a$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1 \le x \le a$.
Чтобы у этого неравенства было хотя бы одно решение, числовой отрезок $[1, a]$ должен быть непустым. Это означает, что левая граница отрезка должна быть меньше либо равна правой границе.
Таким образом, должно выполняться условие: $1 \le a$ или, что то же самое, $a \ge 1$.
Если $a = 1$, неравенство примет вид $1 \le x \le 1$, что имеет единственное решение $x = 1$. Если $a < 1$, решений не будет.
Ответ: $a \ge 1$.