Номер 958, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

958. При каких значениях a уравнение $x^2 - (2a - 1)x + a^2 - a - 6 = 0$ имеет

два различных корня, принадлежащих промежутку $[-3; 2]$?

Рассмотрим данное квадратное уравнение: $x^2 - (2a - 1)x + a^2 - a - 6 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-(2a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - a - 6)$

$D = (2a - 1)^2 - 4(a^2 - a - 6) = (4a^2 - 4a + 1) - (4a^2 - 4a - 24) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 4a + 24 = 25$

Так как $D = 25 > 0$, уравнение всегда имеет два различных корня при любом значении параметра $a$.

Теперь найдем эти корни, используя формулу корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{коэф}} = \frac{2a - 1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{2a - 1 \pm 5}{2}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{2a - 1 - 5}{2} = \frac{2a - 6}{2} = a - 3$

$x_2 = \frac{2a - 1 + 5}{2} = \frac{2a + 4}{2} = a + 2$

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $[-3; 2]$. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

$\begin{cases} -3 \le x_1 \le 2 \\ -3 \le x_2 \le 2 \end{cases}$

Подставим в систему выраженные через $a$ корни:

$\begin{cases} -3 \le a - 3 \le 2 \\ -3 \le a + 2 \le 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) $-3 \le a - 3 \le 2$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-3 + 3 \le a \le 2 + 3$

$0 \le a \le 5$, то есть $a \in [0; 5]$.

2) $-3 \le a + 2 \le 2$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-3 - 2 \le a \le 2 - 2$

$-5 \le a \le 0$, то есть $a \in [-5; 0]$.

Для того чтобы выполнялись оба условия, необходимо найти пересечение полученных промежутков: $[0; 5]$ и $[-5; 0]$.

Пересечением этих двух промежутков является единственное число $a = 0$.

Проверим: при $a=0$ корни уравнения равны $x_1 = 0 - 3 = -3$ и $x_2 = 0 + 2 = 2$. Оба корня принадлежат промежутку $[-3; 2]$.

Ответ: $a=0$.