Номер 963, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

963. Решите графически уравнение:

1) $(x + 1)^2 = -\frac{2}{x};$

2) $x^2 - 2 = -\sqrt{x};$

3) $\sqrt{x + 1} = 5 - x;$;

4) $\frac{6}{x - 2} = x + 3;$;

5) $(x + 2)^2 = \sqrt{x + 4};$

6) $\frac{5}{x} + 3 = (x - 3)^2.$

Чтобы решить уравнения графически, представим каждую часть уравнения как отдельную функцию и найдем абсциссы точек пересечения их графиков.

1) $(x + 1)^2 = -\frac{2}{x}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (x + 1)^2$ и $y = -\frac{2}{x}$.

Первая функция, $y = (x + 1)^2$, — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$.

Вторая функция, $y = -\frac{2}{x}$, — это гипербола. Она получена из графика $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси ординат и симметричного отражения относительно оси абсцисс. Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

Построим графики.
Для параболы $y=(x+1)^2$:
При $x=-2, y=(-2+1)^2=1$.
При $x=-1, y=(-1+1)^2=0$.
При $x=0, y=(0+1)^2=1$.

Для гиперболы $y = -\frac{2}{x}$:
При $x=-2, y = -\frac{2}{-2} = 1$.
При $x=-1, y = -\frac{2}{-1} = 2$.
При $x=1, y = -\frac{2}{1} = -2$.

Из построенных графиков видно, что они пересекаются в одной точке с координатами $(-2, 1)$. Абсцисса этой точки равна -2.

Ответ: $x = -2$.

2) $x^2 - 2 = -\sqrt{x}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 2$ и $y = -\sqrt{x}$.

Область определения уравнения задается условием $x \ge 0$.

Первая функция, $y = x^2 - 2$, — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вниз по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

Вторая функция, $y = -\sqrt{x}$, — это ветвь параболы, симметричной параболе $y=x^2$ относительно биссектрисы I координатной четверти, и отраженная относительно оси абсцисс. График начинается в точке $(0, 0)$ и уходит в IV координатную четверть.

Построим графики для $x \ge 0$.
Для параболы $y=x^2-2$:
При $x=0, y=0^2-2=-2$.
При $x=1, y=1^2-2=-1$.
При $x=2, y=2^2-2=2$.

Для функции $y = -\sqrt{x}$:
При $x=0, y = -\sqrt{0} = 0$.
При $x=1, y = -\sqrt{1} = -1$.
При $x=4, y = -\sqrt{4} = -2$.

Из построенных графиков видно, что они пересекаются в одной точке с координатами $(1, -1)$. Абсцисса этой точки равна 1.

Ответ: $x = 1$.

3) $\sqrt{x+1} = 5-x$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x+1}$ и $y = 5-x$.

Область определения уравнения: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Также, поскольку левая часть неотрицательна, $5-x \ge 0 \implies x \le 5$. Ищем решения на отрезке $[-1, 5]$.

Первая функция, $y = \sqrt{x+1}$, — это график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево по оси абсцисс. Начальная точка графика — $(-1, 0)$.

Вторая функция, $y = 5-x$, — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$.

Построим графики.
Для $y=\sqrt{x+1}$:
При $x=-1, y=\sqrt{0}=0$.
При $x=0, y=\sqrt{1}=1$.
При $x=3, y=\sqrt{4}=2$.

Для прямой $y=5-x$:
При $x=3, y=5-3=2$.
При $x=5, y=5-5=0$.

Графики пересекаются в точке $(3, 2)$. Абсцисса этой точки равна 3.

Ответ: $x = 3$.

4) $\frac{6}{x-2} = x+3$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{6}{x-2}$ и $y = x+3$.

Первая функция, $y = \frac{6}{x-2}$, — это гипербола, полученная из $y=\frac{1}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси абсцисс и растяжением в 6 раз вдоль оси ординат. Вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Вторая функция, $y = x+3$, — это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и пересекающая ось ординат в точке $(0, 3)$.

Построим графики.
Для гиперболы $y = \frac{6}{x-2}$:
При $x=3, y=\frac{6}{1}=6$.
При $x=4, y=\frac{6}{2}=3$.
При $x=-1, y=\frac{6}{-3}=-2$.
При $x=-4, y=\frac{6}{-6}=-1$.

Для прямой $y=x+3$:
При $x=3, y=3+3=6$.
При $x=-4, y=-4+3=-1$.

Графики пересекаются в двух точках. Из построенных точек видно, что это точки $(3, 6)$ и $(-4, -1)$. Абсциссы этих точек 3 и -4.

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 3$.

5) $(x+2)^2 = \sqrt{x+4}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (x+2)^2$ и $y = \sqrt{x+4}$.

Область определения: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

Первая функция, $y = (x+2)^2$, — это парабола, полученная из $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы влево. Вершина в точке $(-2, 0)$.

Вторая функция, $y = \sqrt{x+4}$, — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы влево. Начальная точка графика — $(-4, 0)$.

Построим графики.
Для параболы $y=(x+2)^2$:
При $x=-4, y=(-2)^2=4$.
При $x=-3, y=(-1)^2=1$.
При $x=-2, y=0^2=0$.
При $x=-1, y=1^2=1$.

Для $y=\sqrt{x+4}$:
При $x=-4, y=\sqrt{0}=0$.
При $x=-3, y=\sqrt{1}=1$.
При $x=0, y=\sqrt{4}=2$.

Из графика видно, что функции пересекаются в точке $(-3, 1)$. Таким образом, $x = -3$ является решением. Также видно, что графики пересекаются еще в одной точке, абсцисса которой находится в интервале $(-1, 0)$. Точное значение второго корня сложно определить графически, но его существование очевидно из поведения графиков: при $x=-1$ парабола ниже ($y=1$), чем функция корня ($y=\sqrt{3} \approx 1.73$), а при $x=0$ парабола уже выше ($y=4$), чем функция корня ($y=2$). В школьном курсе при графическом решении обычно достаточно указать корень, который легко определяется из чертежа.

Ответ: $x = -3$.

6) $\frac{5}{x} + 3 = (x-3)^2$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{5}{x} + 3$ и $y = (x-3)^2$.

Область определения: $x \ne 0$.

Первая функция, $y = \frac{5}{x} + 3$, — это гипербола, полученная из $y=\frac{1}{x}$ растяжением в 5 раз вдоль оси ординат и сдвигом на 3 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=3$.

Вторая функция, $y = (x-3)^2$, — это парабола, полученная из $y=x^2$ сдвигом на 3 единицы вправо. Вершина в точке $(3, 0)$.

Построим графики.
Для $y = \frac{5}{x} + 3$:
При $x=1, y=5+3=8$.
При $x=2.5, y=2+3=5$.
При $x=5, y=1+3=4$.

Для параболы $y=(x-3)^2$:
При $x=1, y=(-2)^2=4$.
При $x=3, y=0^2=0$.
При $x=5, y=2^2=4$.

Из построенных графиков видно, что они пересекаются в точке $(5, 4)$. При $x<0$ парабола всегда положительна, а гипербола $y=\frac{5}{x}+3$ принимает как положительные (при $x < -5/3$), так и отрицательные значения, но анализ показывает, что пересечений в этой области нет. Алгебраическая проверка ($x^3 - 6x^2 + 6x - 5 = (x-5)(x^2-x+1)=0$) подтверждает, что действительный корень только один.

Ответ: $x = 5$.