Номер 969, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

969. При каком значении $b$ график функции $y = x^2 + bx + 2$:

1) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

2) не имеет с осью абсцисс общих точек;

3) пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 4?

График функции $y = x^2 + bx + 2$ представляет собой параболу. Точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox) являются точками, в которых $y = 0$. Следовательно, их абсциссы являются корнями квадратного уравнения $x^2 + bx + 2 = 0$. Количество и значения этих корней зависят от дискриминанта $D$.

Для квадратного уравнения $ax^2 + Bx + C = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4aC$. В нашем случае $a=1$, $B=b$, $C=2$.

$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = b^2 - 8$.

1) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

График функции имеет с осью абсцисс только одну общую точку в том случае, когда квадратное уравнение $x^2 + bx + 2 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю ($D=0$).

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $b$:

$D = b^2 - 8 = 0$

$b^2 = 8$

$b = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

Ответ: $b = 2\sqrt{2}$ или $b = -2\sqrt{2}$.

2) не имеет с осью абсцисс общих точек;

График функции не имеет общих точек с осью абсцисс, если квадратное уравнение $x^2 + bx + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант отрицателен ($D<0$).

Решим неравенство $D < 0$ относительно $b$:

$b^2 - 8 < 0$

$b^2 < 8$

Это неравенство выполняется при $-\sqrt{8} < b < \sqrt{8}$, то есть $-2\sqrt{2} < b < 2\sqrt{2}$.

Ответ: $b \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.

3) пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 4?

График функции пересекает ось абсцисс в двух точках, если квадратное уравнение $x^2 + bx + 2 = 0$ имеет два различных действительных корня. Это происходит при $D > 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Они являются абсциссами точек пересечения. По условию, расстояние между этими точками равно 4, то есть $|x_2 - x_1| = 4$.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. В нашем случае:

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{b^2-8}}{2}$ и $x_{2} = \frac{-b + \sqrt{b^2-8}}{2}$.

Найдем расстояние между корнями:

$|x_2 - x_1| = \left| \frac{-b + \sqrt{b^2-8}}{2} - \frac{-b - \sqrt{b^2-8}}{2} \right| = \left| \frac{-b + \sqrt{b^2-8} + b + \sqrt{b^2-8}}{2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{b^2-8}}{2} \right| = \sqrt{b^2-8}$.

По условию задачи это расстояние равно 4. Составим и решим уравнение:

$\sqrt{b^2 - 8} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{b^2 - 8})^2 = 4^2$

$b^2 - 8 = 16$

$b^2 = 24$

$b = \pm\sqrt{24} = \pm\sqrt{4 \cdot 6} = \pm 2\sqrt{6}$

При этих значениях $b$ дискриминант $D = b^2 - 8 = 24 - 8 = 16 > 0$, так что условие наличия двух корней выполняется.

Ответ: $b = 2\sqrt{6}$ или $b = -2\sqrt{6}$.