Номер 971, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

971. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точку (0; 10), а ее вершиной является точка (6; -2). Найдите коэффициенты $a$, $b$ и $c$.

Общее уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$.

По условию парабола проходит через точку $(0; 10)$. Подставим координаты этой точки в уравнение, чтобы найти коэффициент $c$:

$10 = a \cdot (0)^2 + b \cdot 0 + c$

Отсюда следует, что $c = 10$.

Теперь воспользуемся информацией о вершине параболы. Уравнение параболы можно записать в вершинной форме: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0; y_0)$ — координаты вершины.

Из условия известно, что вершина параболы находится в точке $(6; -2)$. Подставим эти значения в вершинную форму:

$y = a(x - 6)^2 - 2$

Чтобы найти коэффициент $a$, используем точку $(0; 10)$, через которую проходит график. Подставим $x=0$ и $y=10$ в полученное уравнение:

$10 = a(0 - 6)^2 - 2$

$10 = a(-6)^2 - 2$

$10 = 36a - 2$

$12 = 36a$

$a = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Теперь мы знаем коэффициенты $a$ и $c$. Чтобы найти $b$, раскроем скобки в вершинной форме уравнения и приведем его к общему виду $y = ax^2 + bx + c$.

$y = \frac{1}{3}(x - 6)^2 - 2$

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 12x + 36) - 2$

$y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{12}{3}x + \frac{36}{3} - 2$

$y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 12 - 2$

$y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 10$

Сравнивая полученное уравнение с уравнением в общем виде $y = ax^2 + bx + c$, находим коэффициенты:

$a = \frac{1}{3}$, $b = -4$, $c = 10$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}, b = -4, c = 10$.