Номер 974, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

974. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^3 + 4x^2 - 5x}{x}$;

2) $y = \frac{x^3 + 8}{x+2} - 3$;

3) $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$;

4) $y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{x^2 - 9}$.

1) $y = \frac{x^3 + 4x^2 - 5x}{x}$

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Упростим выражение, вынеся $x$ за скобки в числителе: $y = \frac{x(x^2 + 4x - 5)}{x}$.

При условии $x \neq 0$ можно сократить дробь: $y = x^2 + 4x - 5$.

Графиком данной функции является парабола $y = x^2 + 4x - 5$, у которой исключена одна точка. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$. $y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. Вершина находится в точке $(-2, -9)$.

Так как $x \neq 0$, найдем ординату "выколотой" точки, подставив $x=0$ в упрощенную функцию: $y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Следовательно, точка $(0, -5)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 4x - 5$ с выколотой точкой $(0, -5)$.

2) $y = \frac{x^3 + 8}{x+2} - 3$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Упростим выражение, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ для числителя дроби: $y = \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{x+2} - 3$.

При условии $x \neq -2$ сокращаем дробь: $y = (x^2 - 2x + 4) - 3$, $y = x^2 - 2x + 1$.

Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата разности: $y = (x-1)^2$. Графиком является парабола $y = (x-1)^2$ с выколотой точкой. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вправо. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

Найдем координаты выколотой точки, подставив $x = -2$ в уравнение параболы: $y(-2) = (-2 - 1)^2 = (-3)^2 = 9$. Точка $(-2, 9)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = (x-1)^2$ с выколотой точкой $(-2, 9)$.

3) $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$

ОДЗ: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение, разложив числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2-1)(x^2+1)$. $y = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2-1}$.

При $x \neq \pm 1$ сокращаем дробь: $y = x^2 + 1$.

Графиком является парабола $y = x^2+1$ с двумя выколотыми точками. Это парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх. Вершина находится в точке $(0, 1)$.

Найдем координаты выколотых точек: При $x = 1$: $y(1) = 1^2 + 1 = 2$. Выколотая точка $(1, 2)$. При $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$. Выколотая точка $(-1, 2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 1$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

4) $y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{x^2 - 9}$

ОДЗ: $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $(x-3)(x+3) \neq 0$. Отсюда $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Разложим числитель на множители. Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, тогда $t^2 - 13t + 36 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1=4$ и $t_2=9$. Значит, $x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2-4)(x^2-9)$. $y = \frac{(x^2-4)(x^2-9)}{x^2-9}$.

При $x \neq \pm 3$ сокращаем дробь: $y = x^2 - 4$.

Графиком является парабола $y = x^2-4$ с двумя выколотыми точками. Это парабола $y=x^2$, смещенная на 4 единицы вниз. Вершина находится в точке $(0, -4)$.

Найдем координаты выколотых точек: При $x = 3$: $y(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Выколотая точка $(3, 5)$. При $x = -3$: $y(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Выколотая точка $(-3, 5)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 4$ с выколотыми точками $(3, 5)$ и $(-3, 5)$.