Номер 972, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

972. Значение квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ в точке $x = -1$ равно 0, а при $x = \frac{1}{4}$ функция принимает наименьшее значение, равное $-\frac{25}{8}$. Найдите коэффициенты $a, b$ и $c$.

Нам дана квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$. Из условия известно, что функция принимает наименьшее значение в точке $x = \frac{1}{4}$, и это значение равно $-\frac{25}{8}$. Точка, в которой квадратичная функция достигает своего экстремума (минимума или максимума), является вершиной параболы. Таким образом, координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$ равны $(\frac{1}{4}; -\frac{25}{8})$.

Зная координаты вершины, можно использовать вершинную (каноническую) форму записи квадратичной функции: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Подставив значения $x_v$ и $y_v$, получаем:
$y = a(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8}$

Также по условию задачи, значение функции в точке $x = -1$ равно 0. Это означает, что парабола проходит через точку с координатами $(-1; 0)$. Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы найти коэффициент $a$:
$0 = a(-1 - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8}$
$0 = a(-\frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8}$
$0 = a(\frac{25}{16}) - \frac{25}{8}$
Перенесем числовой член в другую часть уравнения:
$\frac{25}{8} = a \cdot \frac{25}{16}$
Отсюда находим $a$:
$a = \frac{25}{8} \div \frac{25}{16} = \frac{25}{8} \cdot \frac{16}{25} = \frac{16}{8} = 2$

Теперь, зная коэффициент $a=2$, мы можем полностью определить вид функции и найти коэффициенты $b$ и $c$, приведя ее к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$.
$y = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8}$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$y = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2) - \frac{25}{8}$
$y = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}) - \frac{25}{8}$
$y = 2x^2 - x + \frac{2}{16} - \frac{25}{8}$
$y = 2x^2 - x + \frac{1}{8} - \frac{25}{8}$
$y = 2x^2 - x - \frac{24}{8}$
$y = 2x^2 - x - 3$

Сравнивая полученное уравнение со стандартной формой $y = ax^2 + bx + c$, находим искомые коэффициенты.

Ответ: $a = 2, b = -1, c = -3$.