Номер 965, страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

965. Укажите, вершина какой из данных парабол принадлежит оси ординат, а какой – оси абсцисс:

1) $y = x^2 - 4x + 3;$

2) $y = x^2 - 8;$

3) $y = x^2 - 6x + 9;$

4) $y = x^2 + 2x.$

Для того чтобы определить, принадлежит ли вершина параболы одной из координатных осей, необходимо найти координаты ее вершины $(x_0, y_0)$. Уравнение параболы в общем виде: $y = ax^2 + bx + c$. Координаты вершины вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b(x_0) + c$

Вершина параболы принадлежит оси ординат (ось OY), если ее абсцисса равна нулю, то есть $x_0 = 0$.

Вершина параболы принадлежит оси абсцисс (ось OX), если ее ордината равна нулю, то есть $y_0 = 0$.

Проанализируем каждую из данных парабол:

1) $y = x^2 - 4x + 3$

Для этой параболы коэффициенты $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.
Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_0 = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
Вершина находится в точке $(2, -1)$. Поскольку ни одна из координат не равна нулю, вершина не принадлежит ни оси ординат, ни оси абсцисс.
Ответ: вершина не принадлежит ни одной из координатных осей.

2) $y = x^2 - 8$

Для этой параболы коэффициенты $a = 1$, $b = 0$, $c = -8$.
Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$
$y_0 = (0)^2 - 8 = -8$
Вершина находится в точке $(0, -8)$. Поскольку абсцисса вершины равна нулю ($x_0 = 0$), вершина принадлежит оси ординат.
Ответ: вершина принадлежит оси ординат.

3) $y = x^2 - 6x + 9$

Для этой параболы коэффициенты $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$.
Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$
$y_0 = (3)^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$
Вершина находится в точке $(3, 0)$. Поскольку ордината вершины равна нулю ($y_0 = 0$), вершина принадлежит оси абсцисс.
Ответ: вершина принадлежит оси абсцисс.

4) $y = x^2 + 2x$

Для этой параболы коэффициенты $a = 1$, $b = 2$, $c = 0$.
Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_0 = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$
Вершина находится в точке $(-1, -1)$. Поскольку ни одна из координат не равна нулю, вершина не принадлежит ни оси ординат, ни оси абсцисс.
Ответ: вершина не принадлежит ни одной из координатных осей.

Таким образом, на основе проведенного анализа можно сделать вывод: вершина параболы 2) $y=x^2-8$ принадлежит оси ординат, а вершина параболы 3) $y=x^2-6x+9$ принадлежит оси абсцисс.