Номер 960, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

960. На рисунке 117 изображён график функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-5; 6]$. Пользуясь рисунком, укажите:

1) область значений функции;

2) нули функции;

3) промежутки возрастания и убывания функции;

4) множество решений неравенства $g(x) \leq 0$.

Рис. 117

1) область значений функции;

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ на заданной области определения. Чтобы найти область значений по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке $[-5; 6]$.

Из графика видно, что наименьшее значение функции $y_{min} = -3$ (достигается в точках $x = -5$ и $x = -1$).

Наибольшее значение функции на данном промежутке достигается в его правом конце, в точке $x = 6$, и равно $y_{max} = 3$.

Следовательно, все значения функции лежат в пределах от -3 до 3 включительно.

Ответ: $E(g) = [-3; 3]$.

2) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($g(x) = 0$). На графике это абсциссы точек пересечения или касания графика с осью $Ox$.

График пересекает ось абсцисс в точках $x = -4$, $x = -2$ и $x = 2$. Также график касается оси абсцисс в точке $x = 4$.

Ответ: $-4; -2; 2; 4$.

3) промежутки возрастания и убывания функции;

Функция возрастает на тех промежутках, где ее график при движении слева направо идет вверх. Функция убывает на тех промежутках, где ее график идет вниз.

Из графика определяем:

• Промежутки возрастания: от $x = -5$ до $x = -3$, от $x = -1$ до $x = 3$ и от $x = 4$ до $x = 6$.
• Промежутки убывания: от $x = -3$ до $x = -1$ и от $x = 3$ до $x = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; -3]$, $[-1; 3]$ и $[4; 6]$; функция убывает на промежутках $[-3; -1]$ и $[3; 4]$.

4) множество решений неравенства $g(x) \le 0$.

Решениями неравенства $g(x) \le 0$ являются все значения $x$ из области определения, при которых график функции расположен на оси $Ox$ или ниже этой оси.

Анализируя график, находим следующие промежутки и точки:

• На промежутке $[-5; -4]$ график находится ниже или на оси $Ox$.
• На промежутке $[-2; 2]$ график находится ниже или на оси $Ox$.
• В точке $x=4$ график касается оси $Ox$, то есть $g(4) = 0$.

Объединив эти результаты, получим искомое множество решений.

Ответ: $x \in [-5; -4] \cup [-2; 2] \cup \{4\}$.