Страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

955. При каких значениях a система неравенств не имеет решений:

1) $\begin{cases} x < 6, \\ x > a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \le 5, \\ x > a; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x \le -8, \\ x \ge a; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x > 0, \\ x \le a? \end{cases}$

1)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x < 6, \\ x > a. \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение двух числовых промежутков: $x \in (-\infty; 6)$ и $x \in (a; +\infty)$. Совместное решение можно записать в виде двойного неравенства $a < x < 6$.
Система будет иметь решения, если интервал $(a; 6)$ не пустой, то есть если левая граница интервала меньше правой: $a < 6$.
Система не будет иметь решений, если этот интервал пуст. Это произойдет, когда левая граница $a$ будет больше или равна правой границе 6.
Если $a = 6$, система имеет вид $6 < x < 6$, что не имеет решений.
Если $a > 6$, то левая граница интервала больше правой, и он также пуст.
Таким образом, система не имеет решений при $a \ge 6$.
Ответ: $a \ge 6$.

2)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \le 5, \\ x > a. \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение числовых промежутков $x \in (-\infty; 5]$ и $x \in (a; +\infty)$. Совместное решение можно записать в виде двойного неравенства $a < x \le 5$.
Система будет иметь решения, если полуинтервал $(a; 5]$ не пустой, то есть если левая граница строго меньше правой: $a < 5$.
Система не будет иметь решений, если этот полуинтервал пуст. Это произойдет, когда левая граница $a$ будет больше или равна правой границе 5.
Если $a = 5$, система имеет вид $5 < x \le 5$, что не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно строго больше 5 и меньше либо равно 5.
Если $a > 5$, то левая граница интервала больше правой, и он пуст.
Следовательно, система не имеет решений при $a \ge 5$.
Ответ: $a \ge 5$.

3)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \le -8, \\ x \ge a. \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение числовых промежутков $x \in (-\infty; -8]$ и $x \in [a; +\infty)$. Совместное решение можно записать в виде двойного неравенства $a \le x \le -8$.
Система будет иметь решения, если отрезок $[a; -8]$ не пустой. Это происходит, когда левая граница меньше или равна правой: $a \le -8$. Если $a = -8$, система имеет единственное решение $x = -8$.
Система не будет иметь решений, если этот отрезок пуст. Это произойдет, когда левая граница $a$ будет строго больше правой границы -8.
Таким образом, система не имеет решений при $a > -8$.
Ответ: $a > -8$.

4)

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \le a. \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение числовых промежутков $x \in (0; +\infty)$ и $x \in (-\infty; a]$. Совместное решение можно записать в виде двойного неравенства $0 < x \le a$.
Система будет иметь решения, если полуинтервал $(0; a]$ не пустой, то есть если левая граница строго меньше правой: $a > 0$.
Система не будет иметь решений, если этот полуинтервал пуст. Это произойдет, когда правая граница $a$ будет меньше или равна левой границе 0.
Если $a = 0$, система имеет вид $0 < x \le 0$, что не имеет решений.
Если $a < 0$, то правая граница интервала меньше левой, и он пуст.
Следовательно, система не имеет решений при $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.

956. При каких значениях $a$ множеством решений системы неравенств

$\begin{cases} x \ge 3, \\ x > a \end{cases}$

является:

1) промежуток $[7; +\infty)$;

2) промежуток $[3; +\infty)$;

3) промежуток $(-2; +\infty)$;

4) пустое множество?

Проанализируем данную систему неравенств:

$$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x > a \end{cases} $$

Решением системы является множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это соответствует пересечению промежутков $[3; +\infty)$ и $(a; +\infty)$. Чтобы найти это пересечение, необходимо сравнить $a$ и 3.

1. Если $a < 3$, то условие $x \ge 3$ является более сильным (более ограничивающим), чем $x > a$. Любое число, которое больше или равно 3, автоматически будет больше $a$. Следовательно, решением системы будет промежуток $[3; +\infty)$.

2. Если $a \ge 3$, то условие $x > a$ является более сильным. Любое число, которое больше $a$, автоматически будет больше или равно 3. Следовательно, решением системы будет промежуток $(a; +\infty)$.

Теперь, основываясь на этом, ответим на вопросы.

1) промежуток $[7; +\infty)$

Мы ищем значения $a$, при которых решением является $[7; +\infty)$. Сравним этот промежуток с двумя возможными формами решения.

Решение не может быть $[3; +\infty)$, так как $3 \ne 7$.

Решение не может быть $(a; +\infty)$, так как этот промежуток является открытым (не включает левую границу $a$), а требуемый промежуток $[7; +\infty)$ — замкнутым (включает левую границу 7).

Следовательно, не существует таких значений $a$, при которых решением системы является промежуток $[7; +\infty)$.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

2) промежуток $[3; +\infty)$

Мы ищем значения $a$, при которых решением является $[3; +\infty)$. Из нашего анализа следует, что это происходит в том и только в том случае, когда $a < 3$.

Ответ: $a < 3$.

3) промежуток $(-2; +\infty)$

Мы ищем значения $a$, при которых решением является $(-2; +\infty)$. Решение не может быть $[3; +\infty)$, так как это разные промежутки. Решение вида $(a; +\infty)$ совпало бы с $(-2; +\infty)$ при $a = -2$. Однако, такой вид решения возможен только при условии $a \ge 3$. Поскольку $-2 < 3$, возникает противоречие. Следовательно, таких значений $a$ не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

4) пустое множество

Мы ищем значения $a$, при которых у системы нет решений. Оба возможных вида решения, $[3; +\infty)$ и $(a; +\infty)$, являются непустыми интервалами, так как они простираются до $+\infty$. Таким образом, решение системы никогда не является пустым множеством. Следовательно, таких значений $a$ не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

957. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 - (2a + 2)x - 2a - 3 = 0$ имеет два различных отрицательных корня?

Для того чтобы квадратное уравнение $x^2 - (2a + 2)x - 2a - 3 = 0$ имело два различных отрицательных корня, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись три условия, вытекающие из свойств квадратного уравнения и теоремы Виета:

1. Уравнение должно иметь два различных действительных корня. Это условие выполняется, если дискриминант уравнения $D$ строго больше нуля ($D > 0$).
Найдем дискриминант. Для уравнения $Ax^2+Bx+C=0$, $D=B^2-4AC$. В нашем случае $A=1$, $B=-(2a+2)$, $C=-2a-3$.
$D = (-(2a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a - 3) = (2a + 2)^2 + 4(2a + 3)$
$D = (4a^2 + 8a + 4) + (8a + 12) = 4a^2 + 16a + 16 = 4(a^2 + 4a + 4) = 4(a + 2)^2$.
Теперь решим неравенство $D > 0$:
$4(a + 2)^2 > 0$
$(a + 2)^2 > 0$
Это неравенство справедливо для всех значений $a$, кроме тех, при которых $a+2=0$.
Следовательно, $a \neq -2$.

2. Сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть отрицательной. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -B/A$.
$x_1 + x_2 = - \frac{-(2a + 2)}{1} = 2a + 2$.
Решим неравенство $x_1 + x_2 < 0$:
$2a + 2 < 0$
$2a < -2$
$a < -1$.

3. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ должно быть положительным (так как оба корня отрицательны). По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = C/A$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-2a - 3}{1} = -2a - 3$.
Решим неравенство $x_1 \cdot x_2 > 0$:
$-2a - 3 > 0$
$-2a > 3$
$a < -\frac{3}{2}$ или $a < -1.5$.

Чтобы найти искомые значения $a$, необходимо найти пересечение решений всех трех условий, то есть решить систему неравенств:
$\begin{cases} a \neq -2 \\ a < -1 \\ a < -1.5 \end{cases}$
Пересечением неравенств $a < -1$ и $a < -1.5$ является более строгое неравенство $a < -1.5$.
Теперь к этому решению нужно добавить условие $a \neq -2$. Поскольку значение $-2$ входит в интервал $(-\infty; -1.5)$, его необходимо исключить.
Таким образом, решением системы является объединение двух интервалов.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1.5)$.

958. При каких значениях a уравнение $x^2 - (2a - 1)x + a^2 - a - 6 = 0$ имеет

два различных корня, принадлежащих промежутку $[-3; 2]$?

Рассмотрим данное квадратное уравнение: $x^2 - (2a - 1)x + a^2 - a - 6 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-(2a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - a - 6)$

$D = (2a - 1)^2 - 4(a^2 - a - 6) = (4a^2 - 4a + 1) - (4a^2 - 4a - 24) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 4a + 24 = 25$

Так как $D = 25 > 0$, уравнение всегда имеет два различных корня при любом значении параметра $a$.

Теперь найдем эти корни, используя формулу корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{коэф}} = \frac{2a - 1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{2a - 1 \pm 5}{2}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{2a - 1 - 5}{2} = \frac{2a - 6}{2} = a - 3$

$x_2 = \frac{2a - 1 + 5}{2} = \frac{2a + 4}{2} = a + 2$

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $[-3; 2]$. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

$\begin{cases} -3 \le x_1 \le 2 \\ -3 \le x_2 \le 2 \end{cases}$

Подставим в систему выраженные через $a$ корни:

$\begin{cases} -3 \le a - 3 \le 2 \\ -3 \le a + 2 \le 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) $-3 \le a - 3 \le 2$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-3 + 3 \le a \le 2 + 3$

$0 \le a \le 5$, то есть $a \in [0; 5]$.

2) $-3 \le a + 2 \le 2$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-3 - 2 \le a \le 2 - 2$

$-5 \le a \le 0$, то есть $a \in [-5; 0]$.

Для того чтобы выполнялись оба условия, необходимо найти пересечение полученных промежутков: $[0; 5]$ и $[-5; 0]$.

Пересечением этих двух промежутков является единственное число $a = 0$.

Проверим: при $a=0$ корни уравнения равны $x_1 = 0 - 3 = -3$ и $x_2 = 0 + 2 = 2$. Оба корня принадлежат промежутку $[-3; 2]$.

Ответ: $a=0$.

959. На рисунке 116 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Пользуясь рисунком, укажите:

1) нули функции;

2) промежутки возрастания и убывания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Рис. 116

1) нули функции

Нули функции – это значения аргумента x, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. Графически это абсциссы точек пересечения графика функции с осью x.
Из рисунка видно, что график пересекает ось абсцисс в точках с координатами $x = -4$, $x = -1$, $x = 2$ и $x = 4$.
Ответ: -4, -1, 2, 4.

2) промежутки возрастания и убывания функции

Промежутки возрастания – это интервалы, на которых график функции "идёт вверх" при движении слева направо. Промежутки убывания – это интервалы, на которых график "идёт вниз".
Для определения этих промежутков найдём точки экстремумов (локальные минимумы и максимумы).

• Локальные минимумы (впадины) находятся в точках, где $x = -2$ и $x = 3$.
• Локальный максимум (вершина) находится в точке, где $x = 0$.

Функция возрастает на промежутках от точки минимума до точки максимума и от точки минимума вправо до бесконечности.
Функция убывает на промежутках от минус бесконечности до точки минимума и от точки максимума до точки минимума.
Таким образом:

• Промежутки возрастания функции: $[-2, 0]$ и $[3, +\infty)$.
• Промежутки убывания функции: $(-\infty, -2]$ и $[0, 3]$.

Ответ: промежутки возрастания: $[-2, 0] \cup [3, +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty, -2] \cup [0, 3]$.

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$

Решением неравенства $f(x) > 0$ являются все значения x, для которых график функции расположен выше оси абсцисс.
Используя нули функции ($x = -4, -1, 2, 4$), определим интервалы, где $f(x)$ положительна.
Из графика видно, что $y > 0$ на следующих интервалах:

• от минус бесконечности до -4, то есть $x \in (-\infty, -4)$;
• между -1 и 2, то есть $x \in (-1, 2)$;
• от 4 до плюс бесконечности, то есть $x \in (4, +\infty)$.

Объединение этих интервалов является множеством решений неравенства.
Ответ: $(-\infty, -4) \cup (-1, 2) \cup (4, +\infty)$.

960. На рисунке 117 изображён график функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-5; 6]$. Пользуясь рисунком, укажите:

1) область значений функции;

2) нули функции;

3) промежутки возрастания и убывания функции;

4) множество решений неравенства $g(x) \leq 0$.

Рис. 117

1) область значений функции;

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ на заданной области определения. Чтобы найти область значений по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке $[-5; 6]$.

Из графика видно, что наименьшее значение функции $y_{min} = -3$ (достигается в точках $x = -5$ и $x = -1$).

Наибольшее значение функции на данном промежутке достигается в его правом конце, в точке $x = 6$, и равно $y_{max} = 3$.

Следовательно, все значения функции лежат в пределах от -3 до 3 включительно.

Ответ: $E(g) = [-3; 3]$.

2) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($g(x) = 0$). На графике это абсциссы точек пересечения или касания графика с осью $Ox$.

График пересекает ось абсцисс в точках $x = -4$, $x = -2$ и $x = 2$. Также график касается оси абсцисс в точке $x = 4$.

Ответ: $-4; -2; 2; 4$.

3) промежутки возрастания и убывания функции;

Функция возрастает на тех промежутках, где ее график при движении слева направо идет вверх. Функция убывает на тех промежутках, где ее график идет вниз.

Из графика определяем:

• Промежутки возрастания: от $x = -5$ до $x = -3$, от $x = -1$ до $x = 3$ и от $x = 4$ до $x = 6$.
• Промежутки убывания: от $x = -3$ до $x = -1$ и от $x = 3$ до $x = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; -3]$, $[-1; 3]$ и $[4; 6]$; функция убывает на промежутках $[-3; -1]$ и $[3; 4]$.

4) множество решений неравенства $g(x) \le 0$.

Решениями неравенства $g(x) \le 0$ являются все значения $x$ из области определения, при которых график функции расположен на оси $Ox$ или ниже этой оси.

Анализируя график, находим следующие промежутки и точки:

• На промежутке $[-5; -4]$ график находится ниже или на оси $Ox$.
• На промежутке $[-2; 2]$ график находится ниже или на оси $Ox$.
• В точке $x=4$ график касается оси $Ox$, то есть $g(4) = 0$.

Объединив эти результаты, получим искомое множество решений.

Ответ: $x \in [-5; -4] \cup [-2; 2] \cup \{4\}$.