Страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

984. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x - 4y = -6, \\ x^2 + 4y^2 = 8; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x + y = -2, \\ 3x^2 - 2xy = 28; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + 2y = 13, \\ xy = 15; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3x - 2y = 18, \\ xy = -12; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x + y = -3; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7, \\ x - y = 1; \end{cases} $

7) $ \begin{cases} (x - 1)(y - 1) = -2, \\ x + y = 1; \end{cases} $

8) $ \begin{cases} (x - 2)(y + 1) = 1, \\ x - y = 3; \end{cases} $

9) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8}, \\ x + y = 12; \end{cases} $

10) $ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5}, \\ y - x = 4. \end{cases} $

1) $\begin{cases} x - 4y = -6 \\ x^2 + 4y^2 = 8 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 4y - 6$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(4y - 6)^2 + 4y^2 = 8$
$16y^2 - 48y + 36 + 4y^2 = 8$
$20y^2 - 48y + 28 = 0$
Разделим уравнение на 4:
$5y^2 - 12y + 7 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4$.
$y_1 = \frac{12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 2}{10} = \frac{14}{10} = 1,4$
$y_2 = \frac{12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 1,4$: $x_1 = 4(1,4) - 6 = 5,6 - 6 = -0,4$
При $y_2 = 1$: $x_2 = 4(1) - 6 = 4 - 6 = -2$
Ответ: $(-0,4; 1,4)$, $(-2; 1)$.

2) $\begin{cases} 3x + y = -2 \\ 3x^2 - 2xy = 28 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = -2 - 3x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x^2 - 2x(-2 - 3x) = 28$
$3x^2 + 4x + 6x^2 = 28$
$9x^2 + 4x - 28 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $x$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-28) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$.
$x_1 = \frac{-4 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}$
$x_2 = \frac{-4 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{-36}{18} = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = \frac{14}{9}$: $y_1 = -2 - 3 \cdot \frac{14}{9} = -2 - \frac{14}{3} = -\frac{6}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{20}{3}$
При $x_2 = -2$: $y_2 = -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4$
Ответ: $(\frac{14}{9}; -\frac{20}{3})$, $(-2; 4)$.

3) $\begin{cases} x + 2y = 13 \\ xy = 15 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 13 - 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(13 - 2y)y = 15$
$13y - 2y^2 = 15$
$2y^2 - 13y + 15 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.
$y_1 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$
$y_2 = \frac{13 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 5$: $x_1 = 13 - 2(5) = 13 - 10 = 3$
При $y_2 = 1,5$: $x_2 = 13 - 2(1,5) = 13 - 3 = 10$
Ответ: $(3; 5)$, $(10; 1,5)$.

4) $\begin{cases} 3x - 2y = 18 \\ xy = -12 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ (при $x \neq 0$): $y = -12/x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3x - 2(-\frac{12}{x}) = 18$
$3x + \frac{24}{x} = 18$
Умножим обе части на $x$:
$3x^2 + 24 = 18x$
$3x^2 - 18x + 24 = 0$
Разделим уравнение на 3:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета корни $x_1 = 2, x_2 = 4$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 2$: $y_1 = -12/2 = -6$
При $x_2 = 4$: $y_2 = -12/4 = -3$
Ответ: $(2; -6)$, $(4; -3)$.

5) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x + y = -3 \end{cases}$
Разложим первое уравнение по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = 21$.
Подставим во второе уравнение $x+y = -3$:
$(x-y)(-3) = 21$
$x-y = -7$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -7 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = -3 + (-7)$, что дает $2x = -10$, откуда $x = -5$.
Подставим $x=-5$ в $x+y=-3$: $-5 + y = -3$, откуда $y = 2$.
Ответ: $(-5; 2)$.

6) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y+1$.
Подставим в первое уравнение:
$(y+1)^2 - (y+1)y + y^2 = 7$
$(y^2 + 2y + 1) - (y^2 + y) + y^2 = 7$
$y^2 + 2y + 1 - y^2 - y + y^2 = 7$
$y^2 + y - 6 = 0$
По теореме Виета корни $y_1 = 2, y_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 2$: $x_1 = 2+1 = 3$
При $y_2 = -3$: $x_2 = -3+1 = -2$
Ответ: $(3; 2)$, $(-2; -3)$.

7) $\begin{cases} (x - 1)(y - 1) = -2 \\ x + y = 1 \end{cases}$
Раскроем скобки в первом уравнении: $xy - x - y + 1 = -2$.
Сгруппируем: $xy - (x+y) + 1 = -2$.
Из второго уравнения знаем, что $x+y=1$. Подставим это значение:
$xy - 1 + 1 = -2$, откуда $xy = -2$.
Получили новую систему:
$\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -2 \end{cases}$
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.
Следовательно, решения системы — это пары $(2; -1)$ и $(-1; 2)$.
Ответ: $(2; -1)$, $(-1; 2)$.

8) $\begin{cases} (x - 2)(y + 1) = 1 \\ x - y = 3 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y+3$.
Подставим в первое уравнение:
$((y+3) - 2)(y+1) = 1$
$(y+1)(y+1) = 1$
$(y+1)^2 = 1$
Извлекаем квадратный корень: $y+1 = 1$ или $y+1 = -1$.
Если $y+1=1$, то $y_1=0$. Тогда $x_1 = 0+3=3$.
Если $y+1=-1$, то $y_2=-2$. Тогда $x_2 = -2+3=1$.
Ответ: $(3; 0)$, $(1; -2)$.

9) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8} \\ x + y = 12 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к общему знаменателю: $\frac{y+x}{xy} = \frac{3}{8}$.
Из второго уравнения известно, что $x+y=12$. Подставим это в преобразованное первое уравнение:
$\frac{12}{xy} = \frac{3}{8}$
$12 \cdot 8 = 3 \cdot xy$
$96 = 3xy$
$xy = 32$
Получили новую систему:
$\begin{cases} x + y = 12 \\ xy = 32 \end{cases}$
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 4, t_2 = 8$.
Следовательно, решения системы — это пары $(4; 8)$ и $(8; 4)$.
Ответ: $(4; 8)$, $(8; 4)$.

10) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \\ y - x = 4 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к общему знаменателю: $\frac{y-x}{xy} = \frac{4}{5}$.
Из второго уравнения известно, что $y-x=4$. Подставим это в первое уравнение:
$\frac{4}{xy} = \frac{4}{5}$
Отсюда следует, что $xy=5$.
Получили новую систему:
$\begin{cases} y - x = 4 \\ xy = 5 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = x+4$.
Подставим во второе уравнение: $x(x+4) = 5$.
$x^2 + 4x - 5 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1, x_2 = -5$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 1$: $y_1 = 1+4=5$.
При $x_2 = -5$: $y_2 = -5+4=-1$.
Ответ: $(1; 5)$, $(-5; -1)$.

985. Найдите решения системы уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy + x + y = 11, \\ xy(x + y) = 30; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + xy + y = 5, \\ x - xy + y = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - y = 2, \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 25, \\ x^2 - 3xy = 4; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 14, \\ xy = -6; \end{cases}$

7) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{10}, \\ xy = 50; \end{cases}$

8) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{16}{15}, \\ x^2 - y^2 = 16; \end{cases}$

9) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ x^2 + y^2 = 25; \end{cases}$

10) $\begin{cases} x^2 + 2xy = 5, \\ y^2 - 4xy = -4. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ xy = 2 \end{cases} $$

Это симметрическая система. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $. Подставим в нее известные значения из системы:

$ (x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 5 + 2(2) = 9 $

Отсюда получаем два случая для $ x+y $:

1. $ x+y = 3 $

2. $ x+y = -3 $

Рассмотрим каждый случай отдельно, используя второе уравнение системы $ xy = 2 $.

Случай 1: $ x+y = 3 $ и $ xy = 2 $.
Согласно обратной теореме Виета, $ x $ и $ y $ являются корнями квадратного уравнения $ t^2 - 3t + 2 = 0 $.
Корни этого уравнения: $ t_1 = 1, t_2 = 2 $.
Следовательно, решения в этом случае: $ (1, 2) $ и $ (2, 1) $.

Случай 2: $ x+y = -3 $ и $ xy = 2 $.
Аналогично, составляем квадратное уравнение: $ t^2 - (-3)t + 2 = 0 $, что равносильно $ t^2 + 3t + 2 = 0 $.
Корни этого уравнения: $ t_1 = -1, t_2 = -2 $.
Следовательно, решения в этом случае: $ (-1, -2) $ и $ (-2, -1) $.

Ответ: $ (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1) $.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy + x + y = 11 \\ xy(x + y) = 30 \end{cases} $$

Это симметрическая система. Введем новые переменные: $ u = x+y $ и $ v = xy $. Система примет вид:

$$ \begin{cases} v + u = 11 \\ vu = 30 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $ u $ и $ v $ являются корнями квадратного уравнения $ z^2 - 11z + 30 = 0 $.
Корни этого уравнения: $ z_1 = 5, z_2 = 6 $.
Это дает нам две системы для $ x $ и $ y $:

1. $ u=5, v=6 \implies x+y=5, xy=6 $

2. $ u=6, v=5 \implies x+y=6, xy=5 $

Случай 1: $ x+y=5, xy=6 $.
Составляем уравнение для $ t $: $ t^2 - 5t + 6 = 0 $. Его корни $ t_1=2, t_2=3 $.
Решения: $ (2, 3) $ и $ (3, 2) $.

Случай 2: $ x+y=6, xy=5 $.
Составляем уравнение для $ t $: $ t^2 - 6t + 5 = 0 $. Его корни $ t_1=1, t_2=5 $.
Решения: $ (1, 5) $ и $ (5, 1) $.

Ответ: $ (2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1) $.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + xy + y = 5 \\ x - xy + y = 1 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$ (x + y + xy) + (x + y - xy) = 5 + 1 \implies 2x + 2y = 6 \implies x+y=3 $.

Вычтем второе уравнение из первого:

$ (x + y + xy) - (x + y - xy) = 5 - 1 \implies 2xy = 4 \implies xy=2 $.

Получили новую, более простую систему:

$$ \begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $ x $ и $ y $ являются корнями уравнения $ t^2 - 3t + 2 = 0 $.
Корни: $ t_1 = 1, t_2 = 2 $.

Ответ: $ (1, 2), (2, 1) $.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 2 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6} \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6} \implies \frac{(x-y)(x+y)}{xy} = \frac{5}{6} $

Подставим $ x-y=2 $ из первого уравнения:

$ \frac{2(x+y)}{xy} = \frac{5}{6} \implies 12(x+y) = 5xy $.

Из первого уравнения выразим $ x = y+2 $ и подставим в полученное уравнение:

$ 12((y+2)+y) = 5(y+2)y $

$ 12(2y+2) = 5y^2 + 10y $

$ 24y + 24 = 5y^2 + 10y $

$ 5y^2 - 14y - 24 = 0 $

Решаем квадратное уравнение для $ y $:

$ D = (-14)^2 - 4(5)(-24) = 196 + 480 = 676 = 26^2 $

$ y_{1,2} = \frac{14 \pm 26}{10} $

$ y_1 = \frac{40}{10} = 4 $, тогда $ x_1 = 4+2=6 $.

$ y_2 = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} $, тогда $ x_2 = -\frac{6}{5}+2 = \frac{4}{5} $.

Ответ: $ (6, 4), (\frac{4}{5}, -\frac{6}{5}) $.

5)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 25 \\ x^2 - 3xy = 4 \end{cases} $$

Первое уравнение является полным квадратом: $ (x+y)^2 = 25 $.
Отсюда $ x+y=5 $ или $ x+y=-5 $.

Случай 1: $ x+y=5 \implies y=5-x $.

Подставим во второе уравнение: $ x^2 - 3x(5-x) = 4 \implies x^2 - 15x + 3x^2 = 4 \implies 4x^2 - 15x - 4 = 0 $.

$ D = (-15)^2 - 4(4)(-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $.

$ x_{1,2} = \frac{15 \pm 17}{8} \implies x_1 = 4, x_2 = -\frac{1}{4} $.

Если $ x_1 = 4 $, то $ y_1 = 5-4 = 1 $. Решение: $ (4, 1) $.

Если $ x_2 = -\frac{1}{4} $, то $ y_2 = 5 - (-\frac{1}{4}) = \frac{21}{4} $. Решение: $ (-\frac{1}{4}, \frac{21}{4}) $.

Случай 2: $ x+y=-5 \implies y=-5-x $.

Подставим во второе уравнение: $ x^2 - 3x(-5-x) = 4 \implies x^2 + 15x + 3x^2 = 4 \implies 4x^2 + 15x - 4 = 0 $.

$ D = 15^2 - 4(4)(-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $.

$ x_{3,4} = \frac{-15 \pm 17}{8} \implies x_3 = \frac{1}{4}, x_4 = -4 $.

Если $ x_3 = \frac{1}{4} $, то $ y_3 = -5 - \frac{1}{4} = -\frac{21}{4} $. Решение: $ (\frac{1}{4}, -\frac{21}{4}) $.

Если $ x_4 = -4 $, то $ y_4 = -5 - (-4) = -1 $. Решение: $ (-4, -1) $.

Ответ: $ (4, 1), (-\frac{1}{4}, \frac{21}{4}), (\frac{1}{4}, -\frac{21}{4}), (-4, -1) $.

6)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 14 \\ xy = -6 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $ y = -\frac{6}{x} $ (при $ x \ne 0 $) и подставим в первое:

$ 2x^2 - (-\frac{6}{x})^2 = 14 \implies 2x^2 - \frac{36}{x^2} = 14 $.

Умножим обе части на $ x^2 $: $ 2x^4 - 36 = 14x^2 \implies 2x^4 - 14x^2 - 36 = 0 \implies x^4 - 7x^2 - 18 = 0 $.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $ z=x^2 $ (где $ z \ge 0 $):

$ z^2 - 7z - 18 = 0 $.

Корни этого уравнения: $ z_1 = 9, z_2 = -2 $. Так как $ z \ge 0 $, нам подходит только $ z=9 $.

Возвращаемся к $ x $: $ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $.

Если $ x=3 $, то $ y = -\frac{6}{3} = -2 $.

Если $ x=-3 $, то $ y = -\frac{6}{-3} = 2 $.

Ответ: $ (3, -2), (-3, 2) $.

7)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \\ xy = 50 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$ \frac{y-x}{xy} = \frac{1}{10} $.

Подставим $ xy=50 $ из второго уравнения:

$ \frac{y-x}{50} = \frac{1}{10} \implies y-x = \frac{50}{10} = 5 $.

Получили систему:

$$ \begin{cases} y-x = 5 \\ xy = 50 \end{cases} $$

Из первого уравнения $ y=x+5 $. Подставляем во второе:

$ x(x+5) = 50 \implies x^2 + 5x - 50 = 0 $.

Корни этого уравнения: $ x_1 = 5, x_2 = -10 $.

Если $ x_1=5 $, то $ y_1 = 5+5=10 $.

Если $ x_2=-10 $, то $ y_2 = -10+5=-5 $.

Ответ: $ (5, 10), (-10, -5) $.

8)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{16}{15} \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$ \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{16}{15} $.

Подставим $ x^2-y^2=16 $ из второго уравнения:

$ \frac{16}{xy} = \frac{16}{15} \implies xy=15 $.

Получили систему:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 16 \\ xy = 15 \end{cases} $$

Из второго уравнения $ y=\frac{15}{x} $. Подставляем в первое:

$ x^2 - (\frac{15}{x})^2 = 16 \implies x^2 - \frac{225}{x^2} = 16 \implies x^4 - 16x^2 - 225 = 0 $.

Сделаем замену $ z=x^2 $ (где $ z \ge 0 $): $ z^2 - 16z - 225 = 0 $.

$ D = (-16)^2 - 4(1)(-225) = 256 + 900 = 1156 = 34^2 $.

$ z_{1,2} = \frac{16 \pm 34}{2} \implies z_1 = 25, z_2 = -9 $. Нам подходит $ z=25 $.

$ x^2=25 \implies x = \pm 5 $.

Если $ x=5 $, то $ y = \frac{15}{5}=3 $.

Если $ x=-5 $, то $ y = \frac{15}{-5}=-3 $.

Ответ: $ (5, 3), (-5, -3) $.

9)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12} \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение: $ \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{25}{12} $.

Подставим $ x^2+y^2=25 $ из второго уравнения:

$ \frac{25}{xy} = \frac{25}{12} \implies xy=12 $.

Получили систему, аналогичную задаче 1:

$$ \begin{cases} x^2+y^2=25 \\ xy=12 \end{cases} $$

Из формулы $ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy $ получаем $ (x+y)^2 = 25 + 2(12) = 49 \implies x+y=\pm 7 $.

Случай 1: $ x+y=7, xy=12 $.

Уравнение $ t^2-7t+12=0 $ имеет корни $ t_1=3, t_2=4 $. Решения: $ (3, 4), (4, 3) $.

Случай 2: $ x+y=-7, xy=12 $.

Уравнение $ t^2+7t+12=0 $ имеет корни $ t_1=-3, t_2=-4 $. Решения: $ (-3, -4), (-4, -3) $.

Ответ: $ (3, 4), (4, 3), (-3, -4), (-4, -3) $.

10)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 2xy = 5 \\ y^2 - 4xy = -4 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5, чтобы избавиться от свободных членов при сложении:

$$ \begin{cases} 4x^2 + 8xy = 20 \\ 5y^2 - 20xy = -20 \end{cases} $$

Сложим полученные уравнения:

$ (4x^2 + 8xy) + (5y^2 - 20xy) = 20 - 20 $

$ 4x^2 - 12xy + 5y^2 = 0 $

Это однородное уравнение. Разделим его на $ y^2 $ (предполагая $ y \ne 0 $; если $ y=0 $, то из второго уравнения $ 0=-4 $, что неверно):

$ 4(\frac{x}{y})^2 - 12(\frac{x}{y}) + 5 = 0 $

Сделаем замену $ t = \frac{x}{y} $: $ 4t^2 - 12t + 5 = 0 $.

$ D = (-12)^2 - 4(4)(5) = 144 - 80 = 64 = 8^2 $.

$ t_{1,2} = \frac{12 \pm 8}{8} \implies t_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}, t_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $.

Случай 1: $ \frac{x}{y} = \frac{5}{2} \implies x = \frac{5}{2}y $.

Подставим в первое уравнение исходной системы: $ (\frac{5}{2}y)^2 + 2(\frac{5}{2}y)y = 5 \implies \frac{25}{4}y^2 + 5y^2 = 5 \implies \frac{45}{4}y^2 = 5 \implies y^2 = \frac{20}{45}=\frac{4}{9} \implies y=\pm\frac{2}{3} $.

Если $ y_1 = \frac{2}{3} $, то $ x_1 = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{3} $. Решение: $ (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}) $.

Если $ y_2 = -\frac{2}{3} $, то $ x_2 = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{5}{3} $. Решение: $ (-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}) $.

Случай 2: $ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{2}y $.

Подставим в первое уравнение: $ (\frac{1}{2}y)^2 + 2(\frac{1}{2}y)y = 5 \implies \frac{1}{4}y^2 + y^2 = 5 \implies \frac{5}{4}y^2 = 5 \implies y^2 = 4 \implies y=\pm 2 $.

Если $ y_3=2 $, то $ x_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $. Решение: $ (1, 2) $.

Если $ y_4=-2 $, то $ x_4 = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1 $. Решение: $ (-1, -2) $.

Ответ: $ (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}), (-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}), (1, 2), (-1, -2) $.

986. Найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $3x - y - 5 = 0$ и параболы $y = \frac{2}{3}x^2 - 2x + 4$;

2) прямой $2x - 3y - 3 = 0$ и гиперболы $xy = 3$;

3) окружности $x^2 + y^2 = 13$ и гиперболы $xy = 6$.

1) прямой $3x - y - 5 = 0$ и параболы $y = \frac{2}{3}x^2 - 2x + 4$
Для нахождения координат точек пересечения необходимо решить систему двух уравнений. Координаты $(x, y)$ точек пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям.
Система уравнений:
$ \begin{cases} 3x - y - 5 = 0 \\ y = \frac{2}{3}x^2 - 2x + 4 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x - 5$
Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$3x - 5 = \frac{2}{3}x^2 - 2x + 4$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$\frac{2}{3}x^2 - 2x - 3x + 4 + 5 = 0$
$\frac{2}{3}x^2 - 5x + 9 = 0$
Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 3:
$2x^2 - 15x + 27 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27 = 225 - 216 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-(-15) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя уравнение прямой $y = 3x - 5$:
Для $x_1 = 3$: $y_1 = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$.
Первая точка пересечения: $(3, 4)$.
Для $x_2 = \frac{9}{2}$: $y_2 = 3(\frac{9}{2}) - 5 = \frac{27}{2} - \frac{10}{2} = \frac{17}{2}$.
Вторая точка пересечения: $(\frac{9}{2}, \frac{17}{2})$.
Ответ: $(3, 4)$ и $(\frac{9}{2}, \frac{17}{2})$.

2) прямой $2x - 3y - 3 = 0$ и гиперболы $xy = 3$
Составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y - 3 = 0 \\ xy = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ (заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$):
$y = \frac{3}{x}$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x - 3\left(\frac{3}{x}\right) - 3 = 0$
$2x - \frac{9}{x} - 3 = 0$
Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:
$2x^2 - 9 - 3x = 0$
Запишем в стандартном виде:
$2x^2 - 3x - 9 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = \frac{3}{x}$:
Для $x_1 = -\frac{3}{2}$: $y_1 = \frac{3}{-3/2} = -2$.
Первая точка пересечения: $(-\frac{3}{2}, -2)$.
Для $x_2 = 3$: $y_2 = \frac{3}{3} = 1$.
Вторая точка пересечения: $(3, 1)$.
Ответ: $(-\frac{3}{2}, -2)$ и $(3, 1)$.

3) окружности $x^2 + y^2 = 13$ и гиперболы $xy = 6$
Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{6}{x}$ (при $x \neq 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 13$
$x^2 + \frac{36}{x^2} = 13$
Умножим обе части уравнения на $x^2$ (так как $x \neq 0$):
$x^4 + 36 = 13x^2$
Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:
$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
$t^2 - 13t + 36 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета: сумма корней равна 13, произведение равно 36. Корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому они нам подходят.
Вернемся к замене:
1) $x^2 = t_1 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm 2$.
2) $x^2 = t_2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x = \pm 3$.
Мы нашли четыре возможных значения для $x$. Теперь найдем для каждого из них соответствующее значение $y$ из уравнения $y = \frac{6}{x}$:
Если $x = 2$, то $y = \frac{6}{2} = 3$. Точка: $(2, 3)$.
Если $x = -2$, то $y = \frac{6}{-2} = -3$. Точка: $(-2, -3)$.
Если $x = 3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$. Точка: $(3, 2)$.
Если $x = -3$, то $y = \frac{6}{-3} = -2$. Точка: $(-3, -2)$.
Ответ: $(2, 3)$, $(-2, -3)$, $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.

987. При каком значении a система уравнений имеет единственное решение:

1) $\begin{cases} x - y = 2, \\ xy = a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 6, \\ x + y = a? \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ xy = a. \end{cases} $

Способ 1: Метод подстановки

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(y + 2)y = a$

$y^2 + 2y = a$

$y^2 + 2y - a = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Исходная система будет иметь единственное решение в том и только в том случае, если это квадратное уравнение имеет единственный корень. Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Найдем дискриминант для уравнения $y^2 + 2y - a = 0$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a$.

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение $a$, при котором существует единственное решение:

$4 + 4a = 0$

$4a = -4$

$a = -1$

Способ 2: Графический метод

Первое уравнение $x - y = 2$ можно переписать как $y = x - 2$. Это уравнение задает прямую на координатной плоскости.

Второе уравнение $xy = a$ можно переписать как $y = a/x$ (при $a \neq 0$). Это уравнение задает гиперболу. Если $a=0$, то уравнение $xy=0$ задает пару пересекающихся прямых (оси координат).

Система имеет единственное решение, когда графики уравнений имеют ровно одну точку пересечения. Это соответствует случаю, когда прямая $y=x-2$ касается гиперболы $y=a/x$.

Найдем точки пересечения, приравняв выражения для $y$:

$x - 2 = \frac{a}{x}$

Умножим обе части на $x$ (подразумевая $x \neq 0$):

$x(x - 2) = a$

$x^2 - 2x - a = 0$

Это квадратное уравнение для нахождения абсцисс ($x$) точек пересечения. Единственная точка пересечения будет тогда, когда это уравнение имеет единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a$

$4 + 4a = 0 \implies a = -1$

При $a=-1$ прямая и гипербола касаются, что дает одно решение. Если рассмотреть случай $a=0$, система $\begin{cases} y=x-2 \\ xy=0 \end{cases}$ имеет два решения: $(2,0)$ и $(0,-2)$, поэтому $a=0$ не подходит.

Ответ: $a = -1$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 6, \\ x + y = a. \end{cases} $

Способ 1: Метод подстановки

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = a - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (a - x)^2 = 6$

$x^2 + a^2 - 2ax + x^2 = 6$

$2x^2 - 2ax + (a^2 - 6) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Система будет иметь единственное решение, если это уравнение имеет единственный корень, что происходит, когда его дискриминант равен нулю.

Найдем дискриминант $D$ уравнения $2x^2 - 2ax + (a^2 - 6) = 0$:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 6) = 4a^2 - 8(a^2 - 6) = 4a^2 - 8a^2 + 48 = 48 - 4a^2$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$48 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 48$

$a^2 = 12$

$a = \pm\sqrt{12} = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm 2\sqrt{3}$

Способ 2: Геометрический метод

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 6$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{6}$.

Второе уравнение $x + y = a$, или $y = -x + a$, — это уравнение семейства параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$ и смещением $a$ по оси $y$.

Система имеет единственное решение, когда прямая касается окружности. Условие касания заключается в том, что расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ находится по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В нашем случае прямая задается уравнением $x + y - a = 0$ ($A=1, B=1, C=-a$), центр окружности — точка $(0, 0)$, а радиус $R = \sqrt{6}$.

Вычислим расстояние:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$

Приравняем расстояние к радиусу:

$d = R \implies \frac{|a|}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$

$|a| = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Следовательно, $a = 2\sqrt{3}$ или $a = -2\sqrt{3}$.

Ответ: $a = \pm 2\sqrt{3}$.

988. Диагональ прямоугольника равна 17 см, а его площадь – $120 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b сантиметров.

По условию задачи, площадь прямоугольника равна 120 см². Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. Следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$a \cdot b = 120$

Также по условию, диагональ прямоугольника равна 17 см. Диагональ, вместе с двумя сторонами прямоугольника, образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (диагонали) равен сумме квадратов катетов (сторон). Отсюда получаем второе уравнение:

$a^2 + b^2 = 17^2$

$a^2 + b^2 = 289$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a \cdot b = 120 \\ a^2 + b^2 = 289 \end{cases}$

Для решения этой системы можно использовать следующую алгебраическую формулу: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Преобразуем ее: $(a+b)^2 = (a^2+b^2) + 2(ab)$.

Подставим известные значения из нашей системы:

$(a+b)^2 = 289 + 2 \cdot 120$

$(a+b)^2 = 289 + 240$

$(a+b)^2 = 529$

Извлечем квадратный корень. Так как a и b — это длины сторон, их сумма должна быть положительной:

$a+b = \sqrt{529} = 23$

Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 23 \\ a \cdot b = 120 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, a и b являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим наши значения:

$t^2 - 23t + 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-23) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-(-23) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 см и 15 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 15 см.