Страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1031. Пусть $S_n$ — сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$.

Найдите первый член и разность прогрессии, если:

1) $a_3 + a_5 + a_8 = 18$ и $a_2 + a_4 = -2;$

2) $a_5 - a_3 = -4$ и $a_2 a_4 = -3;$

3) $a_2 + a_4 + a_6 = 36$ и $a_2 a_3 = 54;$

4) $S_5 - S_2 - a_5 = 0,1$ и $a_7 + S_4 = 0,1;$

5) $S_4 = 9$ и $S_6 = 22,5.$

1) Даны условия: $a_3 + a_5 + a_8 = 18$ и $a_2 + a_4 = -2$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Выразим все члены, входящие в условия, через $a_1$ и $d$ и подставим в данные уравнения.

Первое уравнение: $a_3 + a_5 + a_8 = 18$

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 7d) = 18$

$3a_1 + 13d = 18$

Второе уравнение: $a_2 + a_4 = -2$

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = -2$

$2a_1 + 4d = -2$

Разделим второе уравнение на 2: $a_1 + 2d = -1$

Получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 3a_1 + 13d = 18 \\ a_1 + 2d = -1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a_1$: $a_1 = -1 - 2d$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(-1 - 2d) + 13d = 18$

$-3 - 6d + 13d = 18$

$7d = 21$

$d = 3$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$:

$a_1 = -1 - 2(3) = -1 - 6 = -7$

Ответ: первый член $a_1 = -7$, разность $d = 3$.

2) Даны условия: $a_5 - a_3 = -4$ и $a_2 a_4 = -3$.

Используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из первого уравнения: $a_5 - a_3 = -4$

$(a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = -4$

$2d = -4$

$d = -2$

Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение: $a_2 a_4 = -3$.

$(a_1 + d)(a_1 + 3d) = -3$

$(a_1 - 2)(a_1 + 3(-2)) = -3$

$(a_1 - 2)(a_1 - 6) = -3$

$a_1^2 - 6a_1 - 2a_1 + 12 = -3$

$a_1^2 - 8a_1 + 15 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a_1$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни: $a_1 = 3$ и $a_1 = 5$.

Таким образом, существуют две возможные прогрессии:

1. Первый член $a_1 = 3$ и разность $d = -2$.

2. Первый член $a_1 = 5$ и разность $d = -2$.

Ответ: $a_1 = 3, d = -2$ или $a_1 = 5, d = -2$.

3) Даны условия: $a_2 + a_4 + a_6 = 36$ и $a_2 a_3 = 54$.

Используя свойство арифметической прогрессии $a_k + a_m = a_p + a_q$, если $k+m=p+q$, заметим, что $a_2 + a_6 = 2a_4$. Подставим это в первое уравнение:

$2a_4 + a_4 = 36 \implies 3a_4 = 36 \implies a_4 = 12$.

Так как $a_4 = a_1 + 3d$, получаем: $a_1 + 3d = 12$, откуда $a_1 = 12 - 3d$.

Теперь используем второе уравнение: $a_2 a_3 = 54$.

$(a_1 + d)(a_1 + 2d) = 54$

Подставим выражение для $a_1$:

$( (12 - 3d) + d ) ( (12 - 3d) + 2d ) = 54$

$(12 - 2d)(12 - d) = 54$

$144 - 12d - 24d + 2d^2 = 54$

$2d^2 - 36d + 90 = 0$

Разделим уравнение на 2: $d^2 - 18d + 45 = 0$.

Решим квадратное уравнение для $d$. По теореме Виета, корни $d = 3$ и $d = 15$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $d = 3$, то $a_1 = 12 - 3(3) = 12 - 9 = 3$.

2. Если $d = 15$, то $a_1 = 12 - 3(15) = 12 - 45 = -33$.

Ответ: $a_1 = 3, d = 3$ или $a_1 = -33, d = 15$.

4) Даны условия: $S_5 - S_2 - a_5 = 0.1$ и $a_7 + S_4 = 0.1$.

Упростим первое уравнение. $S_5 - S_2$ — это сумма членов с третьего по пятый: $a_3 + a_4 + a_5$.

$(a_3 + a_4 + a_5) - a_5 = 0.1 \implies a_3 + a_4 = 0.1$.

Выразим через $a_1$ и $d$: $(a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 0.1 \implies 2a_1 + 5d = 0.1$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $a_7 + S_4 = 0.1$.

Воспользуемся формулами $a_n = a_1 + (n-1)d$ и $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$a_7 = a_1 + 6d$

$S_4 = \frac{2a_1 + (4-1)d}{2} \cdot 4 = (2a_1 + 3d) \cdot 2 = 4a_1 + 6d$

Подставим в уравнение:

$(a_1 + 6d) + (4a_1 + 6d) = 0.1 \implies 5a_1 + 12d = 0.1$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 5d = 0.1 \\ 5a_1 + 12d = 0.1 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:

$\begin{cases} 10a_1 + 25d = 0.5 \\ 10a_1 + 24d = 0.2 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого: $(10a_1 + 25d) - (10a_1 + 24d) = 0.5 - 0.2 \implies d = 0.3$.

Подставим $d=0.3$ в первое исходное уравнение: $2a_1 + 5(0.3) = 0.1 \implies 2a_1 + 1.5 = 0.1 \implies 2a_1 = -1.4 \implies a_1 = -0.7$.

Ответ: первый член $a_1 = -0.7$, разность $d = 0.3$.

5) Даны условия: $S_4 = 9$ и $S_6 = 22.5$.

Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Для $S_4 = 9$:

$\frac{2a_1 + (4-1)d}{2} \cdot 4 = 9 \implies (2a_1 + 3d) \cdot 2 = 9 \implies 4a_1 + 6d = 9$.

Для $S_6 = 22.5$:

$\frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = 22.5 \implies (2a_1 + 5d) \cdot 3 = 22.5 \implies 6a_1 + 15d = 22.5$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} 4a_1 + 6d = 9 \\ 6a_1 + 15d = 22.5 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $a_1$ стали равны:

$\begin{cases} 12a_1 + 18d = 27 \\ 12a_1 + 30d = 45 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(12a_1 + 30d) - (12a_1 + 18d) = 45 - 27$

$12d = 18 \implies d = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Подставим $d = 1.5$ в первое уравнение системы $4a_1 + 6d = 9$:

$4a_1 + 6(1.5) = 9 \implies 4a_1 + 9 = 9 \implies 4a_1 = 0 \implies a_1 = 0$.

Ответ: первый член $a_1 = 0$, разность $d = 1.5$.

1032. Сумма трёх первых членов арифметической прогрессии равна 3, сумма четырёх первых членов равна 16, а сумма всех членов равна 220.

Найдите количество членов этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов. Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_k = \frac{2a_1 + d(k-1)}{2}k$.

По условию задачи нам дано:

• Сумма трёх первых членов: $S_3 = 3$
• Сумма четырёх первых членов: $S_4 = 16$
• Сумма всех членов: $S_n = 220$

1. Найдем первый член и разность прогрессии.

Сумма четырех первых членов равна сумме трех первых членов плюс четвертый член: $S_4 = S_3 + a_4$.
Отсюда мы можем найти четвертый член прогрессии:
$a_4 = S_4 - S_3 = 16 - 3 = 13$.

Теперь воспользуемся формулой для суммы первых членов, чтобы составить систему уравнений.
Для $S_3=3$:

$S_3 = \frac{2a_1 + d(3-1)}{2} \cdot 3 = \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = (a_1 + d) \cdot 3 = 3$.
Отсюда получаем первое уравнение: $a_1 + d = 1$.

Для $S_4=16$:

$S_4 = \frac{2a_1 + d(4-1)}{2} \cdot 4 = (2a_1 + 3d) \cdot 2 = 16$.
Отсюда получаем второе уравнение: $2a_1 + 3d = 8$.

Решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a_1 + d = 1 \\ 2a_1 + 3d = 8 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = 1 - d$.
Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(1 - d) + 3d = 8$
$2 - 2d + 3d = 8$
$d = 8 - 2$
$d = 6$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение $a_1 = 1 - d$:

$a_1 = 1 - 6 = -5$.

Итак, мы нашли первый член прогрессии $a_1 = -5$ и ее разность $d = 6$.

2. Найдем количество членов прогрессии.

Мы знаем, что сумма всех $n$ членов прогрессии $S_n = 220$. Воспользуемся формулой суммы, подставив в нее найденные значения $a_1$ и $d$:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
$220 = \frac{2(-5) + 6(n-1)}{2} \cdot n$
$220 = \frac{-10 + 6n - 6}{2} \cdot n$
$220 = \frac{6n - 16}{2} \cdot n$
$220 = (3n - 8) \cdot n$
$3n^2 - 8n - 220 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $n$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Найдем дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-220) = 64 + 12 \cdot 220 = 64 + 2640 = 2704$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{2704} = 52$.

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-(-8) + 52}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 52}{6} = \frac{60}{6} = 10$.

$n_2 = \frac{-(-8) - 52}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 52}{6} = \frac{-44}{6}$.

Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, корень $n_2$ не является решением задачи. Следовательно, количество членов прогрессии равно 10.

Ответ: 10.

1033. Чему равна сумма семнадцати первых членов арифметической прогрессии, если её девятый член равен 15?

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для арифметической прогрессии. Пусть $a_n$ - n-й член арифметической прогрессии, $d$ - ее разность, а $S_n$ - сумма ее первых $n$ членов.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, девятый член прогрессии $a_9$ равен 15. Используя формулу, можем записать:

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d = 15$.

Нам необходимо найти сумму семнадцати первых членов прогрессии, $S_{17}$. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим $n=17$ в эту формулу:

$S_{17} = \frac{2a_1 + (17-1)d}{2} \cdot 17 = \frac{2a_1 + 16d}{2} \cdot 17$.

В числителе дроби можно вынести за скобки общий множитель 2:

$S_{17} = \frac{2(a_1 + 8d)}{2} \cdot 17$.

Сократив на 2, получим:

$S_{17} = (a_1 + 8d) \cdot 17$.

Как мы установили ранее, выражение в скобках $a_1 + 8d$ равно девятому члену прогрессии, то есть 15. Подставим это значение в формулу для суммы:

$S_{17} = 15 \cdot 17$.

Выполним умножение:

$15 \cdot 17 = 255$.

Альтернативный способ:

Можно использовать свойство суммы арифметической прогрессии с нечетным числом членов. Если количество членов $n$ нечетно, то сумма $S_n$ равна произведению центрального члена на количество членов. Центральным является член с номером $k = \frac{n+1}{2}$.

В нашем случае $n=17$, это нечетное число. Номер центрального члена: $k = \frac{17+1}{2} = 9$. То есть, центральный член - это $a_9$.

Тогда сумму можно найти по формуле: $S_{17} = a_9 \cdot 17$.

Так как по условию $a_9 = 15$, получаем:

$S_{17} = 15 \cdot 17 = 255$.

Ответ: 255

1034. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, а его меньший катет равен $a$. Найдите площадь треугольника.

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью $d$. Поскольку длины сторон должны быть положительными, а прогрессия возрастающей (так как стороны разные), то $d > 0$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Обозначим длины сторон в порядке возрастания.

По условию, меньший катет равен $a$. Это наименьшая сторона треугольника. Тогда стороны треугольника можно записать как $a$, $a+d$ и $a+2d$.

Таким образом, катеты равны $a$ и $a+d$, а гипотенуза равна $a+2d$.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + (a+d)^2 = (a+2d)^2$

Раскроем скобки в уравнении, чтобы найти значение $d$: $a^2 + a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2$

Приведем подобные слагаемые: $2a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $d$: $0 = (a^2 - 2a^2) + (4ad - 2ad) + (4d^2 - d^2)$ $0 = -a^2 + 2ad + 3d^2$ Или, в стандартном виде: $3d^2 + 2ad - a^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $d$, используя формулу для корней: $D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-a^2) = 4a^2 + 12a^2 = 16a^2$ $d = \frac{-2a \pm \sqrt{16a^2}}{2 \cdot 3} = \frac{-2a \pm 4a}{6}$

Получаем два возможных значения для разности прогрессии $d$: $d_1 = \frac{-2a + 4a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$ $d_2 = \frac{-2a - 4a}{6} = \frac{-6a}{6} = -a$

Так как мы ищем возрастающую прогрессию длин сторон ($d>0$), а также $a$ является длиной и $a > 0$, то единственным подходящим решением является $d = \frac{a}{3}$. (При $d=-a$ второй катет имел бы длину $a+(-a)=0$, что невозможно).

Теперь найдем длины обоих катетов:

• Меньший катет: $a$
• Больший катет: $a+d = a + \frac{a}{3} = \frac{4a}{3}$

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{4a}{3}\right) = \frac{4a^2}{6} = \frac{2a^2}{3}$

Ответ: $\frac{2a^2}{3}$

1035. Найдите сумму двадцати первых нечётных чисел, при делении которых на 3 остаток равен 1.

Для решения задачи нам нужно найти последовательность чисел, которые удовлетворяют двум условиям: они должны быть нечётными и при делении на 3 давать остаток 1.

Общий вид числа, которое при делении на 3 даёт остаток 1, можно записать как $a = 3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Теперь проверим это выражение на нечётность при разных значениях $k$:
Если $k = 0$, то $a = 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Число 1 нечётное.
Если $k = 1$, то $a = 3 \cdot 1 + 1 = 4$. Число 4 чётное.
Если $k = 2$, то $a = 3 \cdot 2 + 1 = 7$. Число 7 нечётное.
Если $k = 3$, то $a = 3 \cdot 3 + 1 = 10$. Число 10 чётное.
Если $k = 4$, то $a = 3 \cdot 4 + 1 = 13$. Число 13 нечётное.

Из примеров видно, что числа вида $3k + 1$ являются нечётными только тогда, когда $k$ — чётное число.
Пусть $k = 2(n-1)$, где $n$ — порядковый номер искомого числа ($n=1, 2, 3, \ldots$).
Тогда формула для $n$-го члена нашей последовательности, обозначим его $a_n$, будет:
$a_n = 3 \cdot (2(n-1)) + 1 = 6(n-1) + 1 = 6n - 6 + 1 = 6n - 5$.

Таким образом, мы ищем сумму первых 20 членов последовательности: $1, 7, 13, 19, \ldots$.
Эта последовательность является арифметической прогрессией, у которой:
первый член $a_1 = 1$;
разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 7 - 1 = 6$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:
$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

Нам нужно найти сумму двадцати первых членов, то есть $S_{20}$. Подставляем в формулу известные значения: $n=20$, $a_1=1$, $d=6$.
$S_{20} = \frac{20}{2}(2 \cdot 1 + (20-1) \cdot 6)$
$S_{20} = 10 \cdot (2 + 19 \cdot 6)$
$S_{20} = 10 \cdot (2 + 114)$
$S_{20} = 10 \cdot 116$
$S_{20} = 1160$

Ответ: 1160.

1036. Чему равна сумма всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5?

Для решения этой задачи мы найдем сумму всех двузначных чисел, а затем, используя принцип включений-исключений, вычтем из нее сумму всех двузначных чисел, которые делятся на 3 или на 5.

1. Сумма всех двузначных чисел

Двузначные числа образуют арифметическую прогрессию от 10 до 99. Найдем их сумму по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Первый член прогрессии $a_1 = 10$.
Последний член прогрессии $a_n = 99$.
Количество двузначных чисел $n = 99 - 10 + 1 = 90$.
Сумма всех двузначных чисел ($S_{всех}$):
$S_{всех} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Сумма двузначных чисел, делящихся на 3

Эти числа (12, 15, ..., 99) также образуют арифметическую прогрессию.
Первый член $a_1 = 12$, последний член $a_n = 99$.
Количество членов $n_3 = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.
Сумма этих чисел ($S_3$):
$S_3 = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

3. Сумма двузначных чисел, делящихся на 5

Это арифметическая прогрессия от 10 до 95.
Первый член $a_1 = 10$, последний член $a_n = 95$.
Количество членов $n_5 = \frac{95 - 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18$.
Сумма этих чисел ($S_5$):
$S_5 = \frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945$.

4. Сумма двузначных чисел, делящихся на 3 и на 5 (т.е. на 15)

Числа, которые делятся одновременно и на 3, и на 5, делятся на их наименьшее общее кратное, то есть на 15. Эти числа (15, 30, ..., 90) были посчитаны дважды (в $S_3$ и в $S_5$), поэтому их сумму нужно вычесть.
Первый член $a_1 = 15$, последний член $a_n = 90$.
Количество членов $n_{15} = \frac{90 - 15}{15} + 1 = \frac{75}{15} + 1 = 5 + 1 = 6$.
Сумма этих чисел ($S_{15}$):
$S_{15} = \frac{15 + 90}{2} \cdot 6 = \frac{105}{2} \cdot 6 = 105 \cdot 3 = 315$.

5. Итоговый расчет

Сумма всех двузначных чисел, которые делятся на 3 или на 5, равна:
$S_{3 \text{ или } 5} = S_3 + S_5 - S_{15} = 1665 + 945 - 315 = 2610 - 315 = 2295$.
Чтобы найти сумму чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, вычтем полученную сумму из общей суммы всех двузначных чисел:
$S_{искомая} = S_{всех} - S_{3 \text{ или } 5} = 4905 - 2295 = 2610$.

Ответ: 2610.

1037. Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$. Найдите:

1) $b_1$, если $b_5 = -\frac{16}{27}$, $q = -\frac{2}{3}$;

2) $q$, если $b_1 = \frac{2}{3}$, $b_4 = \frac{9}{32}$;

3) сумму семи первых членов прогрессии, если $b_7 = 192$, $q = 2$;

4) сумму пяти первых членов прогрессии, если $b_5 = 9\sqrt{6}$, $q = \sqrt{3}$.

1) $b_1$, если $b_5 = -\frac{16}{27}, q = -\frac{2}{3}$;

Формула для n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
Для данного случая $n=5$. Подставим известные значения в формулу:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
$-\frac{16}{27} = b_1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^4$
Вычислим $q^4$:
$\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{(-2)^4}{3^4} = \frac{16}{81}$
Подставим полученное значение в уравнение:
$-\frac{16}{27} = b_1 \cdot \frac{16}{81}$
Теперь выразим и найдем $b_1$:
$b_1 = -\frac{16}{27} \div \frac{16}{81} = -\frac{16}{27} \cdot \frac{81}{16}$
Сокращаем дробь:
$b_1 = -\frac{81}{27} = -3$
Ответ: $b_1 = -3$.

2) $q$, если $b_1 = \frac{2}{3}, b_4 = \frac{9}{32}$;

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
В данном случае $n=4$. Подставим известные значения $b_1$ и $b_4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
$\frac{9}{32} = \frac{2}{3} \cdot q^3$
Выразим $q^3$:
$q^3 = \frac{9}{32} \div \frac{2}{3} = \frac{9}{32} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{64}$
Чтобы найти $q$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$q = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{3}{4}$
Ответ: $q = \frac{3}{4}$.

3) сумму семи первых членов прогрессии, если $b_7 = 192, q = 2$;

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо сначала найти первый член прогрессии $b_1$. Для этого используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим известные значения $b_7 = 192$ и $q = 2$:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$
$192 = b_1 \cdot 2^6$
$192 = b_1 \cdot 64$
$b_1 = \frac{192}{64} = 3$
Теперь, зная $b_1=3$, $q=2$ и $n=7$, мы можем найти сумму семи первых членов $S_7$:
$S_7 = \frac{3(2^7 - 1)}{2 - 1}$
$S_7 = \frac{3(128 - 1)}{1} = 3 \cdot 127 = 381$
Ответ: 381.

4) сумму пяти первых членов прогрессии, если $b_5 = 9\sqrt{6}, q = \sqrt{3}$.

Требуется найти сумму первых пяти членов $S_5$. Формула для суммы: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Сначала найдем $b_1$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$.
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
Подставим известные значения $b_5 = 9\sqrt{6}$ и $q = \sqrt{3}$:
$9\sqrt{6} = b_1 \cdot (\sqrt{3})^4$
Вычислим $(\sqrt{3})^4 = ((\sqrt{3})^2)^2 = 3^2 = 9$.
$9\sqrt{6} = b_1 \cdot 9$
$b_1 = \frac{9\sqrt{6}}{9} = \sqrt{6}$
Теперь вычислим сумму $S_5$, подставив $b_1 = \sqrt{6}$, $q = \sqrt{3}$ и $n=5$:
$S_5 = \frac{\sqrt{6}((\sqrt{3})^5 - 1)}{\sqrt{3} - 1}$
Вычислим $(\sqrt{3})^5 = (\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.
$S_5 = \frac{\sqrt{6}(9\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} - 1}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{3} + 1)$:
$S_5 = \frac{\sqrt{6}(9\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{6} \cdot 9\sqrt{3} - \sqrt{6} \cdot 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$
$S_5 = \frac{(9\sqrt{18} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{(9 \cdot 3\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{(27\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + 1)}{2}$
Раскроем скобки в числителе:
$S_5 = \frac{27\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + 27\sqrt{2}\cdot 1 - \sqrt{6}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{6}\cdot 1}{2} = \frac{27\sqrt{6} + 27\sqrt{2} - \sqrt{18} - \sqrt{6}}{2}$
$S_5 = \frac{27\sqrt{6} + 27\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$S_5 = \frac{(27\sqrt{6} - \sqrt{6}) + (27\sqrt{2} - 3\sqrt{2})}{2} = \frac{26\sqrt{6} + 24\sqrt{2}}{2}$
Сократим дробь, разделив каждый член числителя на 2:
$S_5 = 13\sqrt{6} + 12\sqrt{2}$
Ответ: $13\sqrt{6} + 12\sqrt{2}$.

1038. Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии, содержащей шесть членов, в 8 раз меньше суммы трёх последних. Чему равен знаменатель прогрессии?

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель как $q$. По условию, в прогрессии шесть членов. Запишем их в общем виде: $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6$.

Выразим каждый член через $b_1$ и $q$:

• $b_1$
• $b_2 = b_1q$
• $b_3 = b_1q^2$
• $b_4 = b_1q^3$
• $b_5 = b_1q^4$
• $b_6 = b_1q^5$

Сумма трёх первых членов прогрессии ($S_{1-3}$) равна: $S_{1-3} = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1 + q + q^2)$.

Сумма трёх последних членов прогрессии ($S_{4-6}$) равна: $S_{4-6} = b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = b_1q^3(1 + q + q^2)$.

Согласно условию задачи, сумма трёх первых членов в 8 раз меньше суммы трёх последних. Это можно записать в виде уравнения: $S_{4-6} = 8 \cdot S_{1-3}$.

Подставим выражения для сумм в это уравнение: $b_1q^3(1 + q + q^2) = 8 \cdot b_1(1 + q + q^2)$.

Для нетривиальной геометрической прогрессии $b_1 \neq 0$. Также выражение $1 + q + q^2$ не равно нулю ни при каких действительных значениях $q$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1(1 + q + q^2)$: $q^3 = 8$.

Решив это уравнение, находим знаменатель прогрессии: $q = \sqrt[3]{8}$ $q = 2$.

Ответ: 2.

1039. Найдите четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, если сумма её крайних членов равна $\frac{35}{3}$, а сумма средних равна 10.

Обозначим четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, как $b_1, b_2, b_3, b_4$.

Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда члены прогрессии можно записать в виде:

$b_1 = b_1$

$b_2 = b_1q$

$b_3 = b_1q^2$

$b_4 = b_1q^3$

По условию задачи, сумма крайних членов (первого и четвертого) равна $\frac{35}{3}$, а сумма средних членов (второго и третьего) равна 10. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_4 = \frac{35}{3} \\ b_2 + b_3 = 10 \end{cases} $

Подставим выражения для членов прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1 + b_1q^3 = \frac{35}{3} \\ b_1q + b_1q^2 = 10 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1(1 + q^3) = \frac{35}{3} & (1) \\ b_1q(1 + q) = 10 & (2) \end{cases} $

Разделим уравнение (1) на уравнение (2), чтобы исключить $b_1$ (предполагая, что $b_1 \neq 0$ и $q(1+q) \neq 0$):

$\frac{b_1(1 + q^3)}{b_1q(1 + q)} = \frac{35/3}{10}$

Используем формулу суммы кубов $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$ для упрощения левой части:

$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{1 - q + q^2}{q}$

Упростим правую часть:

$\frac{35}{3 \cdot 10} = \frac{35}{30} = \frac{7}{6}$

Приравняем полученные выражения и решим уравнение относительно $q$:

$\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{7}{6}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$6(1 - q + q^2) = 7q$

$6 - 6q + 6q^2 = 7q$

$6q^2 - 13q + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$q_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующее значение $b_1$ для каждого $q$ из уравнения (2): $b_1 = \frac{10}{q(1 + q)}$.

Случай 1: $q = \frac{2}{3}$

$b_1 = \frac{10}{\frac{2}{3}(1 + \frac{2}{3})} = \frac{10}{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3}} = \frac{10}{\frac{10}{9}} = 10 \cdot \frac{9}{10} = 9$

Тогда члены прогрессии равны:

$b_1 = 9$

$b_2 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$

$b_3 = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$

$b_4 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Искомые числа: $9, 6, 4, \frac{8}{3}$.

Случай 2: $q = \frac{3}{2}$

$b_1 = \frac{10}{\frac{3}{2}(1 + \frac{3}{2})} = \frac{10}{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}} = \frac{10}{\frac{15}{4}} = 10 \cdot \frac{4}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$

Тогда члены прогрессии равны:

$b_1 = \frac{8}{3}$

$b_2 = \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = 4$

$b_3 = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

$b_4 = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

Искомые числа: $\frac{8}{3}, 4, 6, 9$.

В обоих случаях мы получили один и тот же набор чисел. Проверим решение:

Сумма крайних членов: $\frac{8}{3} + 9 = \frac{8+27}{3} = \frac{35}{3}$.

Сумма средних членов: $4 + 6 = 10$.

Условия задачи выполнены.

Ответ: Искомые числа: $\frac{8}{3}, 4, 6, 9$ или $9, 6, 4, \frac{8}{3}$.

1040. Известно, что бесконечная последовательность $b_1, b_2, b_3, ...$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q \neq 1$. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $b_2, b_4, b_6, ...;$
2) $b_1 + 1, b_2 + 1, b_3 + 1, ...;$
3) $b_1^2, b_2^2, b_3^2, ...;$

4) $-b_1, -b_3, -b_5, ...;$
5) $b_1 + b_2, b_2 + b_3, b_3 + b_4, ...;$
6) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3}, ... ?$

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем прогрессии. Исходная последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$, то есть $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для всех $n \ge 1$. Проверим каждую из предложенных последовательностей.

1) $b_2, b_4, b_6, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$. Ее n-й член равен $c_n = b_{2n}$. Используя формулу для n-го члена исходной прогрессии, получаем: $c_n = b_1 \cdot q^{2n-1}$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену последовательности $c_n$:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{2(n+1)}}{b_{2n}} = \frac{b_{2n+2}}{b_{2n}} = \frac{b_1 q^{2n+2-1}}{b_1 q^{2n-1}} = \frac{b_1 q^{2n+1}}{b_1 q^{2n-1}} = q^{(2n+1) - (2n-1)} = q^2$.

Отношение постоянно и равно $q^2$, следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $q^2$.

2) $b_1 + 1, b_2 + 1, b_3 + 1, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$. Ее n-й член равен $c_n = b_n + 1 = b_1 q^{n-1} + 1$.

Найдем отношение второго члена к первому и третьего ко второму:

$\frac{c_2}{c_1} = \frac{b_2+1}{b_1+1} = \frac{b_1 q + 1}{b_1 + 1}$

$\frac{c_3}{c_2} = \frac{b_3+1}{b_2+1} = \frac{b_1 q^2 + 1}{b_1 q + 1}$

Для того чтобы последовательность была геометрической прогрессией, эти отношения должны быть равны для любых $b_1$ и $q \ne 1$. Приравняем их:

$\frac{b_1 q + 1}{b_1 + 1} = \frac{b_1 q^2 + 1}{b_1 q + 1} \Rightarrow (b_1 q + 1)^2 = (b_1 + 1)(b_1 q^2 + 1)$

$b_1^2 q^2 + 2b_1 q + 1 = b_1^2 q^2 + b_1 + b_1 q^2 + 1$

$2b_1 q = b_1 + b_1 q^2$

Если $b_1 \neq 0$, то $2q = 1 + q^2$, что приводит к уравнению $(q-1)^2 = 0$, то есть $q=1$. Но по условию $q \neq 1$. Таким образом, равенство выполняется не для всех прогрессий. Например, для $b_1=1, q=2$ последовательность $2, 4, 8, ...$ становится $3, 5, 9, ...$, что не является геометрической прогрессией, так как $\frac{5}{3} \neq \frac{9}{5}$.

Ответ: нет, в общем случае не является.

3) $b_1^2, b_2^2, b_3^2, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$, где $c_n = b_n^2$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)^2 = q^2$.

Отношение постоянно и равно $q^2$. Альтернативно, можно записать $n$-й член: $c_n = (b_1 q^{n-1})^2 = b_1^2 (q^2)^{n-1}$. Это формула $n$-го члена геометрической прогрессии с первым членом $b_1^2$ и знаменателем $q^2$.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $q^2$.

4) $-b_1, -b_3, -b_5, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$, где $c_n = -b_{2n-1}$.

$c_n = - (b_1 q^{(2n-1)-1}) = -b_1 q^{2n-2}$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{-b_{2(n+1)-1}}{-b_{2n-1}} = \frac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}} = \frac{b_1 q^{2n+1-1}}{b_1 q^{2n-1-1}} = \frac{b_1 q^{2n}}{b_1 q^{2n-2}} = q^2$.

Отношение постоянно и равно $q^2$, следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $q^2$.

5) $b_1 + b_2, b_2 + b_3, b_3 + b_4, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$, где $c_n = b_n + b_{n+1}$.

Выразим $c_n$ через $b_1$ и $q$: $c_n = b_1 q^{n-1} + b_1 q^n = b_1 q^{n-1}(1+q)$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1} + b_{n+2}}{b_n + b_{n+1}} = \frac{b_1 q^n(1+q)}{b_1 q^{n-1}(1+q)}$.

Если $b_1 \neq 0$ и $q \neq -1$, то отношение равно $q$. Если $b_1 = 0$ или $q = -1$, то все члены последовательности $c_n$ равны нулю, и она также является геометрической прогрессией. Таким образом, отношение всегда постоянно.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $q$.

6) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3}, ...$

Для того чтобы последовательность была определена, необходимо, чтобы $b_n \neq 0$ для всех $n$, что требует $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.

Обозначим новую последовательность как $c_n$, где $c_n = \frac{1}{b_n}$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{1/b_{n+1}}{1/b_n} = \frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{q}$.

Отношение постоянно и равно $\frac{1}{q}$. Следовательно, при условии, что все члены $b_n$ ненулевые, последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $\frac{1}{q}$ (при условии, что $b_n \neq 0$ для всех $n$).