Номер 1037, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1037. Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$. Найдите:

1) $b_1$, если $b_5 = -\frac{16}{27}$, $q = -\frac{2}{3}$;

2) $q$, если $b_1 = \frac{2}{3}$, $b_4 = \frac{9}{32}$;

3) сумму семи первых членов прогрессии, если $b_7 = 192$, $q = 2$;

4) сумму пяти первых членов прогрессии, если $b_5 = 9\sqrt{6}$, $q = \sqrt{3}$.

1) $b_1$, если $b_5 = -\frac{16}{27}, q = -\frac{2}{3}$;

Формула для n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
Для данного случая $n=5$. Подставим известные значения в формулу:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
$-\frac{16}{27} = b_1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^4$
Вычислим $q^4$:
$\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{(-2)^4}{3^4} = \frac{16}{81}$
Подставим полученное значение в уравнение:
$-\frac{16}{27} = b_1 \cdot \frac{16}{81}$
Теперь выразим и найдем $b_1$:
$b_1 = -\frac{16}{27} \div \frac{16}{81} = -\frac{16}{27} \cdot \frac{81}{16}$
Сокращаем дробь:
$b_1 = -\frac{81}{27} = -3$
Ответ: $b_1 = -3$.

2) $q$, если $b_1 = \frac{2}{3}, b_4 = \frac{9}{32}$;

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
В данном случае $n=4$. Подставим известные значения $b_1$ и $b_4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
$\frac{9}{32} = \frac{2}{3} \cdot q^3$
Выразим $q^3$:
$q^3 = \frac{9}{32} \div \frac{2}{3} = \frac{9}{32} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{64}$
Чтобы найти $q$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$q = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{3}{4}$
Ответ: $q = \frac{3}{4}$.

3) сумму семи первых членов прогрессии, если $b_7 = 192, q = 2$;

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо сначала найти первый член прогрессии $b_1$. Для этого используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим известные значения $b_7 = 192$ и $q = 2$:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$
$192 = b_1 \cdot 2^6$
$192 = b_1 \cdot 64$
$b_1 = \frac{192}{64} = 3$
Теперь, зная $b_1=3$, $q=2$ и $n=7$, мы можем найти сумму семи первых членов $S_7$:
$S_7 = \frac{3(2^7 - 1)}{2 - 1}$
$S_7 = \frac{3(128 - 1)}{1} = 3 \cdot 127 = 381$
Ответ: 381.

4) сумму пяти первых членов прогрессии, если $b_5 = 9\sqrt{6}, q = \sqrt{3}$.

Требуется найти сумму первых пяти членов $S_5$. Формула для суммы: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Сначала найдем $b_1$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$.
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
Подставим известные значения $b_5 = 9\sqrt{6}$ и $q = \sqrt{3}$:
$9\sqrt{6} = b_1 \cdot (\sqrt{3})^4$
Вычислим $(\sqrt{3})^4 = ((\sqrt{3})^2)^2 = 3^2 = 9$.
$9\sqrt{6} = b_1 \cdot 9$
$b_1 = \frac{9\sqrt{6}}{9} = \sqrt{6}$
Теперь вычислим сумму $S_5$, подставив $b_1 = \sqrt{6}$, $q = \sqrt{3}$ и $n=5$:
$S_5 = \frac{\sqrt{6}((\sqrt{3})^5 - 1)}{\sqrt{3} - 1}$
Вычислим $(\sqrt{3})^5 = (\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.
$S_5 = \frac{\sqrt{6}(9\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} - 1}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{3} + 1)$:
$S_5 = \frac{\sqrt{6}(9\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{6} \cdot 9\sqrt{3} - \sqrt{6} \cdot 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$
$S_5 = \frac{(9\sqrt{18} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{(9 \cdot 3\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{(27\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + 1)}{2}$
Раскроем скобки в числителе:
$S_5 = \frac{27\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + 27\sqrt{2}\cdot 1 - \sqrt{6}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{6}\cdot 1}{2} = \frac{27\sqrt{6} + 27\sqrt{2} - \sqrt{18} - \sqrt{6}}{2}$
$S_5 = \frac{27\sqrt{6} + 27\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$S_5 = \frac{(27\sqrt{6} - \sqrt{6}) + (27\sqrt{2} - 3\sqrt{2})}{2} = \frac{26\sqrt{6} + 24\sqrt{2}}{2}$
Сократим дробь, разделив каждый член числителя на 2:
$S_5 = 13\sqrt{6} + 12\sqrt{2}$
Ответ: $13\sqrt{6} + 12\sqrt{2}$.