Номер 1042, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1042. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0.\overline{21}$;

2) $0.2\overline{3}$;

3) $2.\overline{7}$;

4) $0.\overline{19}$;

5) $0.\overline{901}$;

6) $1.0\overline{7}$.

В случае утвердительного ответа укажите, чему равен знаменатель этой прогрессии.

1) 0,(21)
Бесконечную периодическую дробь $0,(21)$ можно представить как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:$0,(21) = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \dots$Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,21$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{0,0021}{0,21} = 0,01 = \frac{1}{100}$.Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.Подставив значения, получим:$S = \frac{0,21}{1 - 0,01} = \frac{0,21}{0,99} = \frac{21}{99}$.Сократив дробь на 3, получим $\frac{7}{33}$.Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{7}{33}$.

2) 0,2(3)
Смешанную периодическую дробь $0,2(3)$ можно представить в виде суммы непериодической части и бесконечной периодической дроби:$0,2(3) = 0,2 + 0,0(3) = 0,2 + (0,03 + 0,003 + 0,0003 + \dots)$.Выражение в скобках является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,03$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{0,003}{0,03} = 0,1 = \frac{1}{10}$.Сумма этой прогрессии равна $S_{gp} = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,03}{1-0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.Исходное число равно: $0,2 + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30} + \frac{1}{30} = \frac{7}{30}$.Знаменатель прогрессии, соответствующей периодической части, равен $\frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{30}$.

3) 2,(7)
Представим число $2,(7)$ как сумму целой части и периодической дроби: $2,(7) = 2 + 0,(7)$.Периодическую часть $0,(7)$ представим как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:$0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + \dots$Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,7$, а знаменатель $q = 0,1 = \frac{1}{10}$.Сумма прогрессии равна: $S_{gp} = \frac{0,7}{1 - 0,1} = \frac{0,7}{0,9} = \frac{7}{9}$.Исходное число равно: $2 + \frac{7}{9} = \frac{18}{9} + \frac{7}{9} = \frac{25}{9}$.Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{25}{9}$.

4) 0,(19)
Бесконечную периодическую дробь $0,(19)$ можно представить как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:$0,(19) = 0,19 + 0,0019 + 0,000019 + \dots$Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,19$, а знаменатель $q = \frac{0,0019}{0,19} = 0,01 = \frac{1}{100}$.Сумма прогрессии: $S = \frac{0,19}{1 - 0,01} = \frac{0,19}{0,99} = \frac{19}{99}$.Дробь несократимая, так как 19 - простое число.Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{19}{99}$.

5) 0,(901)
Бесконечную периодическую дробь $0,(901)$ можно представить как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:$0,(901) = 0,901 + 0,000901 + \dots$Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,901$, а знаменатель $q = 0,001 = \frac{1}{1000}$.Сумма прогрессии: $S = \frac{0,901}{1 - 0,001} = \frac{0,901}{0,999} = \frac{901}{999}$.Дробь несократимая, так как $999 = 3^3 \cdot 37$, а 901 не делится ни на 3, ни на 37.Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{1000}$.
Ответ: $\frac{901}{999}$.

6) 1,0(7)
Смешанную периодическую дробь $1,0(7)$ можно представить в виде суммы:$1,0(7) = 1 + 0,0(7) = 1 + (0,07 + 0,007 + 0,0007 + \dots)$.Выражение в скобках является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,07$, а знаменатель $q = \frac{0,007}{0,07} = 0,1 = \frac{1}{10}$.Сумма этой прогрессии равна: $S_{gp} = \frac{0,07}{1 - 0,1} = \frac{0,07}{0,9} = \frac{7}{90}$.Исходное число равно: $1 + \frac{7}{90} = \frac{90}{90} + \frac{7}{90} = \frac{97}{90}$.Дробь несократимая, так как 97 - простое число.Знаменатель прогрессии, соответствующей периодической части, равен $\frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{97}{90}$.