Номер 2, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Системы линейных неравенств и решение экономических задач

Рекомендуемая литература

Олейников Б., Бузницкий П., Дубсон М. Симплекс метод // Квант. – 1976. – № 7.

Рейтман М.И. Транспортная задача // Квант. – 1974. – № 6.

Солодовников А.С. Системы линейных неравенств. – М. : Наука, 1977.

На изображении представлен раздел учебного материала "Системы линейных неравенств и решение экономических задач" и список рекомендуемой литературы по этой теме. Вопроса или задачи для решения на изображении нет. Ниже приведено развернутое объяснение данной темы.

1. Системы линейных неравенств

Линейное неравенство с $n$ переменными $x_1, x_2, \dots, x_n$ — это неравенство вида $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n \le b$ (или с другим знаком: $\ge$, <, $>$, где $a_i$ и $b$ — известные числа. Система линейных неравенств — это совокупность двух или более таких неравенств, которые должны выполняться одновременно.

Решением системы является набор значений переменных, удовлетворяющий всем неравенствам сразу. Геометрически, в двумерном пространстве (с переменными $x$ и $y$) каждое линейное неравенство задает полуплоскость. Решение системы — это пересечение всех этих полуплоскостей. Эта область пересечения называется областью допустимых решений (ОДР) и всегда представляет собой выпуклый многоугольник (возможно, неограниченный).

Например, система неравенств:

$x + 2y \le 8$
$3x + y \le 9$
$x \ge 0$
$y \ge 0$

задает на плоскости выпуклый четырехугольник, ограниченный осями координат и двумя прямыми. Любая точка внутри этого четырехугольника или на его границах является решением системы. В пространствах большей размерности ОДР представляет собой выпуклый многогранник.

Ответ: Системы линейных неравенств определяют область допустимых решений в виде выпуклого многогранника, что является основой для постановки и решения задач оптимизации.

2. Постановка экономической задачи (задачи линейного программирования)

Многие экономические задачи сводятся к поиску наилучшего (оптимального) способа использования ограниченных ресурсов для достижения максимальной прибыли или минимальных затрат. Такие задачи можно формализовать в виде задач линейного программирования (ЛП).

Стандартная задача ЛП включает в себя три основных компонента:

1. Целевая функция. Это линейная функция, которую необходимо максимизировать или минимизировать. Она описывает цель задачи, например, общую прибыль или суммарные издержки. Вид функции: $Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n \to \max$ (или $\min$).
2. Система ограничений. Это система линейных неравенств (или равенств), которая описывает условия задачи: ограниченность ресурсов, производственные мощности, требования спроса и т.д.
3. Ограничения неотрицательности. Переменные решения (например, объемы производства) не могут быть отрицательными: $x_j \ge 0$.

Например, задача о производстве. Фабрика производит два вида продукции, А ($x_1$ единиц) и B ($x_2$ единиц). Прибыль от единицы продукции А равна $c_1$, от B — $c_2$. Для производства требуются ресурсы (труд, сырье), запасы которых ограничены. Задача состоит в том, чтобы найти такие объемы производства $x_1$ и $x_2$, которые максимизируют общую прибыль $Z = c_1x_1 + c_2x_2$ при соблюдении ресурсных ограничений.

Ответ: Экономические задачи часто формулируются как задачи линейного программирования, где требуется оптимизировать (максимизировать или минимизировать) линейную целевую функцию при выполнении системы линейных ограничений.

3. Методы решения задач линейного программирования

Для решения задач ЛП используются различные методы. Основная теорема ЛП гласит, что если оптимальное решение существует, то оно достигается в одной из вершин области допустимых решений.

• Графический метод. Применим для задач с двумя переменными. Метод заключается в построении ОДР на плоскости и нахождении вершины, в которой целевая функция достигает своего оптимального значения. Для этого строят линию уровня целевой функции $c_1x_1 + c_2x_2 = const$ и перемещают ее параллельно самой себе в направлении вектора градиента $\vec{c} = (c_1, c_2)$ (для максимизации) до тех пор, пока она не коснется последней точки ОДР. Эта точка и будет решением.
• Симплекс-метод. Это универсальный алгебраический метод, упомянутый в списке литературы (Олейников, Бузницкий, Дубсон). Он позволяет решать задачи ЛП с любым числом переменных. Идея метода заключается в итерационном переходе от одной вершины ОДР к соседней по ребру многогранника, причем на каждом шаге значение целевой функции улучшается. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдена вершина, в которой значение целевой функции является оптимальным (т.е. переход в любую соседнюю вершину его не улучшит).

Ответ: Основными методами решения задач ЛП являются графический метод (для двух переменных) и универсальный симплекс-метод, который итерационно находит оптимальное решение, перемещаясь по вершинам области допустимых решений.

4. Пример: Транспортная задача

Транспортная задача, упомянутая в литературе (Рейтман М.И.), — это классический пример задачи линейного программирования.

Постановка задачи: Имеется $m$ складов (пунктов отправления), на каждом из которых находится определенное количество однородного товара ($a_1, a_2, \dots, a_m$). Этот товар необходимо доставить $n$ потребителям (пунктам назначения), потребности которых составляют $b_1, b_2, \dots, b_n$. Известна стоимость $c_{ij}$ перевозки единицы товара со склада $i$ потребителю $j$. Требуется составить такой план перевозок, чтобы все потребности были удовлетворены, а суммарные транспортные расходы были минимальны.

Математическая модель:

Пусть $x_{ij}$ — количество товара, перевозимого со склада $i$ потребителю $j$.

• Целевая функция (минимизация затрат): $Z = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij} x_{ij} \to \min$
• Ограничения по запасам на складах: $\sum_{j=1}^{n} x_{ij} = a_i$ для каждого склада $i=1, \dots, m$ (вывозится весь товар).
• Ограничения по потребностям: $\sum_{i=1}^{m} x_{ij} = b_j$ для каждого потребителя $j=1, \dots, n$ (спрос удовлетворяется полностью).
• Ограничение неотрицательности: $x_{ij} \ge 0$.

Обязательным условием для этой (закрытой) модели является равенство суммарных запасов и суммарных потребностей: $\sum a_i = \sum b_j$. Данная задача решается как симплекс-методом, так и более эффективными специализированными алгоритмами (например, методом потенциалов).

Ответ: Транспортная задача — это задача ЛП по минимизации затрат на перевозку товаров от поставщиков к потребителям при заданных объемах поставок, потребностях и стоимости перевозок.