Номер 1043, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1043. Первый член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q$ таким, что $|q| < 1$, равен $6\sqrt{3}$, а её сумма равна $9(\sqrt{3} + 1)$. Найдите знаменатель прогрессии.

Для нахождения знаменателя бесконечной геометрической прогрессии воспользуемся формулой её суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ — это сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии, для которого выполняется условие $|q| < 1$.

Из условия задачи нам даны следующие значения:

• Первый член $b_1 = 6\sqrt{3}$
• Сумма прогрессии $S = 9(\sqrt{3} + 1)$

Подставим эти значения в формулу суммы:

$9(\sqrt{3} + 1) = \frac{6\sqrt{3}}{1 - q}$

Теперь выразим из этого уравнения множитель $(1 - q)$:

$1 - q = \frac{6\sqrt{3}}{9(\sqrt{3} + 1)}$

Сократим числовой коэффициент в дроби на 3:

$1 - q = \frac{2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3} + 1)}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} - 1)$:

$1 - q = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{3(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$

Выполним умножение. В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$1 - q = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 1}{3((\sqrt{3})^2 - 1^2)} = \frac{2 \cdot 3 - 2\sqrt{3}}{3(3 - 1)} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{6}$

Теперь разделим каждый член числителя на знаменатель:

$1 - q = \frac{6}{6} - \frac{2\sqrt{3}}{6} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Из полученного равенства $1 - q = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ следует, что:

$q = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $q \approx \frac{1.732}{3} \approx 0.577$. Это значение меньше 1, следовательно, условие выполняется.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.