Номер 5, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Цепные дроби

Рекомендуемая литература

Арнольд В.И. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000.

Бескин Н.М. Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — № 8.

Бескин Н.М. Цепные дроби // Квант. — 1970. — № 1.

Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М. ; Л. : Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952.

Устинов А. Цепные дроби вокруг нас // Квант. — 2010. — № 2.

Хинчин А.Я. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.

На изображении представлен раздел, посвященный теме "Цепные дроби", и список рекомендуемой литературы. Поскольку конкретной задачи для решения нет, ниже приведено развернутое объяснение того, что такое цепные дроби.

Цепная (или непрерывная) дробь — это представление действительного числа $\alpha$ в виде выражения:

$\alpha = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \dots}}}$

где $a_0$ — целое число, а все последующие элементы $a_1, a_2, a_3, \dots$ (называемые неполными частными) — натуральные числа (то есть положительные целые). Для краткости используется запись $[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]$.

Процесс разложения числа в цепную дробь тесно связан с алгоритмом Евклида. Он заключается в последовательном выделении целой части числа и обращении его дробной части:

1. Пусть исходное число есть $\alpha$. Полагаем $\alpha_0 = \alpha$.
2. Первый элемент дроби $a_0$ — это целая часть $\alpha_0$: $a_0 = \lfloor \alpha_0 \rfloor$.
3. Остаток равен $\alpha_0 - a_0$. Если он равен нулю, то процесс завершен. Иначе, вычисляем следующий член последовательности $\alpha_1 = \frac{1}{\alpha_0 - a_0}$.
4. Второй элемент $a_1$ — это целая часть $\alpha_1$: $a_1 = \lfloor \alpha_1 \rfloor$.
5. Процесс повторяется: $\alpha_{k+1} = \frac{1}{\alpha_k - a_k}$ и $a_{k+1} = \lfloor \alpha_{k+1} \rfloor$ до тех пор, пока остаток не станет нулевым.

Для рациональных чисел (обыкновенных дробей) разложение в цепную дробь всегда конечно. Для иррациональных чисел — бесконечно.

Пример 1: Рациональное число

Разложим число $\frac{415}{93}$ в цепную дробь.

• $\frac{415}{93} = 4 + \frac{43}{93}$. Значит, $a_0 = 4$.
• Переворачиваем дробную часть: $\frac{1}{43/93} = \frac{93}{43} = 2 + \frac{7}{43}$. Значит, $a_1 = 2$.
• Снова переворачиваем: $\frac{1}{7/43} = \frac{43}{7} = 6 + \frac{1}{7}$. Значит, $a_2 = 6$.
• Последний шаг: $\frac{1}{1/7} = 7$. Значит, $a_3 = 7$.

Таким образом, $\frac{415}{93} = 4 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{7}}}$, что в краткой записи выглядит как $[4; 2, 6, 7]$.

Пример 2: Иррациональное число

Разложим золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618...$

• Целая часть $\phi$ равна 1, так что $a_0 = 1$.
• Дробная часть: $\phi - 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
• Переворачиваем дробь: $\frac{1}{(\sqrt{5}-1)/2} = \frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi$.

Мы снова получили число $\phi$. Это означает, что процесс будет бесконечно повторяться, и все последующие неполные частные будут равны 1.Следовательно, $\phi = [1; 1, 1, 1, \dots]$. Цепная дробь для квадратичной иррациональности (как $\phi$) всегда периодична.

Подходящие дроби и применения

Если оборвать цепную дробь на каком-либо шаге, мы получим рациональное число, называемое подходящей дробью. Эти дроби являются наилучшими рациональными приближениями исходного числа. Например, для числа $\pi = [3; 7, 15, 1, \dots]$ подходящие дроби:

• $[3] = 3$
• $[3; 7] = 3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$ (приближение Архимеда)
• $[3; 7, 15] = 3 + \frac{1}{7+\frac{1}{15}} = \frac{333}{106}$
• $[3; 7, 15, 1] = \frac{355}{113}$ (очень точное приближение Цзу Чунчжи)

Цепные дроби находят применение в различных областях:

• Теория чисел: решение диофантовых уравнений (например, уравнения Пелля $x^2 - Dy^2 = 1$).
• Теория приближений: поиск наилучших рациональных приближений для констант.
• Криптография: некоторые атаки на шифр RSA основаны на разложении в цепную дробь.
• Инженерия: расчёт передаточных отношений в зубчатых передачах.

Рекомендуемая литература с изображения:

Арнольд В.И. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000.
Бескин Н.М. Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — № 8.
Бескин Н.М. Цепные дроби // Квант. — 1970. — № 1.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М. ; Л. : Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952.
Устинов А. Цепные дроби вокруг нас // Квант. — 2010. — № 2.
Хинчин А.Я. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.

Ответ: На изображении представлен список литературы по теме "Цепные дроби". Цепная дробь — это способ представления действительных чисел в виде "многоэтажной" дроби с целыми элементами. Этот математический аппарат используется для нахождения наилучших рациональных приближений чисел и решения задач в теории чисел и других областях науки и техники.