Номер 1, страница 295 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Эта рубрика адресована прежде всего тем, кто хочет научиться приоб- ретать знания самостоятельно, творчески мыслить, формировать, выра- жать и отстаивать свою точку зрения, выдвигать гипотезы, находить наибо- лее рациональные и нестандартные решения.

Первым шагом, который может помочь в реализации этих целей, яв- ляется участие в проектной работе.

Проект — это самостоятельное исследование по выбранной теме, ко- торое может выполняться как индивидуально, так и группой учащихся.

Дадим несколько советов по организации работы над проектом и оформлению результатов исследования.

1. При выборе темы необходимо учитывать её актуальность, наличие источников информации в литературе и интернет-ресурсах. Здесь важно ваше желание проявить себя в качестве исследователя в работе именно над выбранной темой.

2. Работа начинается с составления предварительного плана, в кото- ром отражается замысел и этапы реализации задуманного. После знаком- ства с основными источниками и рекомендованной литературой при помо- щи руководителя проекта составляется окончательный план.

3. Важно чётко сформулировать цели исследования. Они могут быть записаны в такой форме: изучить, описать, проанализировать, доказать, сравнить и т. п.

4. Работа завершается подведением итогов исследования: делаются выводы, намечаются перспективы дальнейшего изучения темы.

5. Примерный объём работы — 10–15 страниц. Дополнительно мо- жет прилагаться иллюстративный материал.

6. Работа может быть оформлена в виде реферата, доклада, компью- терной презентации.

Ниже приводится рекомендуемый список тем, которые могут быть выбраны для проектной работы.

1. Симметрия в алгебре

Рекомендуемая литература

Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. — М. : МЦНМО, 2002.

Курляндчик Л.Д., Фомин Д. Теорема Виета и вспомогательный мно- гочлен // Квант. — 1984. — № 12.

Парамонова И.М. Симметрия в математике. — М. : МЦНМО, 2002.

Симметрия — одно из фундаментальных понятий в науке и искусстве, означающее сохранение каких-либо свойств объекта при определенных преобразованиях. В математике это понятие находит свое отражение в различных областях, и алгебра не является исключением. Алгебраическая симметрия чаще всего проявляется в свойствах многочленов, которые не изменяются при перестановке своих переменных. Изучение таких свойств открывает эффективные методы для решения уравнений и систем уравнений.

Цели проекта:

• Изучить понятие симметрического многочлена и его основные свойства.
• Описать элементарные симметрические многочлены и их роль.
• Проанализировать основную теорему о симметрических многочленах и ее практическое значение.
• Показать связь между симметрическими многочленами и формулами Виета.
• Рассмотреть применение теории симметрических многочленов для решения систем алгебраических уравнений.

Симметрические многочлены

Многочлен $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ от $n$ переменных называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке своих переменных. То есть, для любой перестановки $(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n)$ индексов $(1, 2, \ldots, n)$ выполняется равенство: $P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = P(x_{\pi_1}, x_{\pi_2}, \ldots, x_{\pi_n})$.

Например, для двух переменных $x$ и $y$:

• $P(x, y) = x^2 + y^2$ — симметрический, так как $x^2 + y^2 = y^2 + x^2$.
• $P(x, y) = x+y+xy$ — симметрический, так как $x+y+xy = y+x+yx$.
• $P(x, y) = x - y$ — несимметрический, так как $x - y \ne y - x$ (за исключением случая $x=y$).

Для трех переменных $x, y, z$ примером симметрического многочлена является $x^3+y^3+z^3 - 3xyz$.

Элементарные симметрические многочлены

Среди всех симметрических многочленов особую роль играют так называемые элементарные симметрические многочлены. Для $n$ переменных $x_1, x_2, \ldots, x_n$ они обозначаются как $\sigma_k$ (где $k = 1, \ldots, n$) и определяются следующим образом:

• $\sigma_1 = \sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_n$
• $\sigma_2 = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n$
• ...
• $\sigma_k = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \ldots x_{i_k}$
• ...
• $\sigma_n = x_1 x_2 \ldots x_n$

Например, для $n=3$ (переменные $x, y, z$):
$\sigma_1 = x + y + z$
$\sigma_2 = xy + yz + zx$
$\sigma_3 = xyz$

Основная теорема о симметрических многочленах

Эта теорема является центральной в данной теме. Она гласит, что любой симметрический многочлен от переменных $x_1, \ldots, x_n$ можно представить, и притом единственным образом, в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$.

Например, выразим симметрический многочлен $S = x_1^2 + x_2^2$ через элементарные $\sigma_1 = x_1 + x_2$ и $\sigma_2 = x_1 x_2$.
Возведем $\sigma_1$ в квадрат: $\sigma_1^2 = (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.
Отсюда видно, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Таким образом, $S = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.

Формулы Виета и их связь с симметрией

Формулы Виета устанавливают связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Рассмотрим многочлен $n$-й степени с корнями $x_1, \ldots, x_n$:
$P(t) = (t - x_1)(t - x_2)\ldots(t - x_n) = t^n - (x_1+\ldots+x_n)t^{n-1} + (x_1x_2+\ldots)t^{n-2} - \ldots + (-1)^n x_1\ldots x_n$
Раскрыв скобки, мы видим, что коэффициенты при степенях $t$ являются элементарными симметрическими многочленами от корней $x_1, \ldots, x_n$:
$P(t) = t^n - \sigma_1 t^{n-1} + \sigma_2 t^{n-2} - \ldots + (-1)^n \sigma_n$.
Если многочлен задан в стандартном виде $P(t) = t^n + a_1 t^{n-1} + a_2 t^{n-2} + \ldots + a_n$, то формулы Виета имеют вид:
$a_k = (-1)^k \sigma_k(x_1, \ldots, x_n)$.
Таким образом, формулы Виета — это прямое следствие симметрической природы выражений для коэффициентов через корни.

Применение: решение симметрических систем уравнений

Система уравнений называется симметрической, если она не меняется при перестановке неизвестных. Такие системы удобно решать с помощью замены переменных, вводя элементарные симметрические многочлены в качестве новых неизвестных.

Пример. Решить систему:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$
Введем новые переменные: $\sigma_1 = x+y$ и $\sigma_2 = xy$.
Из первого уравнения имеем $\sigma_1 = 5$.
Второе уравнение преобразуем, используя результат основной теоремы: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.
Подставляем известные значения: $13 = 5^2 - 2\sigma_2 \Rightarrow 13 = 25 - 2\sigma_2 \Rightarrow 2\sigma_2 = 12 \Rightarrow \sigma_2 = 6$.
Теперь мы имеем систему для $\sigma_1$ и $\sigma_2$: $\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$.
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - \sigma_1 t + \sigma_2 = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Следовательно, решениями исходной системы являются пары $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Степенные суммы и тождества Ньютона

Симметрические многочлены вида $p_k = x_1^k + x_2^k + \ldots + x_n^k$ называются степенными суммами. Они играют важную роль в различных разделах математики. Тождества Ньютона связывают степенные суммы $p_k$ с элементарными симметрическими многочленами $\sigma_k$. Они позволяют рекуррентно вычислять одни через другие.
Например, для $n \ge 3$:
$p_1 - \sigma_1 = 0$
$p_2 - \sigma_1 p_1 + 2\sigma_2 = 0$
$p_3 - \sigma_1 p_2 + \sigma_2 p_1 - 3\sigma_3 = 0$
Эти тождества дают алгоритмический способ выражения любой степенной суммы (а следовательно, и многих других симметрических многочленов) через элементарные.

Заключение

Понятие симметрии является одним из ключевых в алгебре, позволяя находить общие подходы к решению разнообразных задач. Центральная идея заключается в том, что симметрические выражения можно единообразно представить через более простой базис — элементарные симметрические многочлены. Это не только теоретически красиво, но и имеет большое практическое значение: формулы Виета, решение симметрических систем, вычисление значений выражений от корней многочлена без нахождения самих корней. Дальнейшее развитие этих идей приводит к более глубоким разделам математики, таким как теория Галуа, которая изучает симметрии корней уравнений и отвечает на вопрос о разрешимости уравнений в радикалах.

Ответ: В ходе исследования темы «Симметрия в алгебре» было установлено, что ключевую роль в ней играют симметрические многочлены — многочлены, не изменяющиеся при перестановке переменных. Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что любой из них может быть однозначно выражен через элементарные симметрические многочлены. Этот фундаментальный факт напрямую связан с формулами Виета, которые выражают коэффициенты многочлена через элементарные симметрические функции его корней. Практическое применение этой теории заключается в эффективном решении симметрических систем уравнений, где задача сводится к нахождению значений элементарных симметрических многочленов и последующему решению более простого уравнения. Таким образом, концепция симметрии предоставляет мощный аппарат для анализа и решения алгебраических задач.