Номер 1039, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1039. Найдите четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, если сумма её крайних членов равна $\frac{35}{3}$, а сумма средних равна 10.

Обозначим четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, как $b_1, b_2, b_3, b_4$.

Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда члены прогрессии можно записать в виде:

$b_1 = b_1$

$b_2 = b_1q$

$b_3 = b_1q^2$

$b_4 = b_1q^3$

По условию задачи, сумма крайних членов (первого и четвертого) равна $\frac{35}{3}$, а сумма средних членов (второго и третьего) равна 10. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_4 = \frac{35}{3} \\ b_2 + b_3 = 10 \end{cases} $

Подставим выражения для членов прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1 + b_1q^3 = \frac{35}{3} \\ b_1q + b_1q^2 = 10 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1(1 + q^3) = \frac{35}{3} & (1) \\ b_1q(1 + q) = 10 & (2) \end{cases} $

Разделим уравнение (1) на уравнение (2), чтобы исключить $b_1$ (предполагая, что $b_1 \neq 0$ и $q(1+q) \neq 0$):

$\frac{b_1(1 + q^3)}{b_1q(1 + q)} = \frac{35/3}{10}$

Используем формулу суммы кубов $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$ для упрощения левой части:

$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{1 - q + q^2}{q}$

Упростим правую часть:

$\frac{35}{3 \cdot 10} = \frac{35}{30} = \frac{7}{6}$

Приравняем полученные выражения и решим уравнение относительно $q$:

$\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{7}{6}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$6(1 - q + q^2) = 7q$

$6 - 6q + 6q^2 = 7q$

$6q^2 - 13q + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$q_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующее значение $b_1$ для каждого $q$ из уравнения (2): $b_1 = \frac{10}{q(1 + q)}$.

Случай 1: $q = \frac{2}{3}$

$b_1 = \frac{10}{\frac{2}{3}(1 + \frac{2}{3})} = \frac{10}{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3}} = \frac{10}{\frac{10}{9}} = 10 \cdot \frac{9}{10} = 9$

Тогда члены прогрессии равны:

$b_1 = 9$

$b_2 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$

$b_3 = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$

$b_4 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Искомые числа: $9, 6, 4, \frac{8}{3}$.

Случай 2: $q = \frac{3}{2}$

$b_1 = \frac{10}{\frac{3}{2}(1 + \frac{3}{2})} = \frac{10}{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}} = \frac{10}{\frac{15}{4}} = 10 \cdot \frac{4}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$

Тогда члены прогрессии равны:

$b_1 = \frac{8}{3}$

$b_2 = \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = 4$

$b_3 = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

$b_4 = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

Искомые числа: $\frac{8}{3}, 4, 6, 9$.

В обоих случаях мы получили один и тот же набор чисел. Проверим решение:

Сумма крайних членов: $\frac{8}{3} + 9 = \frac{8+27}{3} = \frac{35}{3}$.

Сумма средних членов: $4 + 6 = 10$.

Условия задачи выполнены.

Ответ: Искомые числа: $\frac{8}{3}, 4, 6, 9$ или $9, 6, 4, \frac{8}{3}$.