Номер 1035, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1035. Найдите сумму двадцати первых нечётных чисел, при делении которых на 3 остаток равен 1.

Для решения задачи нам нужно найти последовательность чисел, которые удовлетворяют двум условиям: они должны быть нечётными и при делении на 3 давать остаток 1.

Общий вид числа, которое при делении на 3 даёт остаток 1, можно записать как $a = 3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Теперь проверим это выражение на нечётность при разных значениях $k$:
Если $k = 0$, то $a = 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Число 1 нечётное.
Если $k = 1$, то $a = 3 \cdot 1 + 1 = 4$. Число 4 чётное.
Если $k = 2$, то $a = 3 \cdot 2 + 1 = 7$. Число 7 нечётное.
Если $k = 3$, то $a = 3 \cdot 3 + 1 = 10$. Число 10 чётное.
Если $k = 4$, то $a = 3 \cdot 4 + 1 = 13$. Число 13 нечётное.

Из примеров видно, что числа вида $3k + 1$ являются нечётными только тогда, когда $k$ — чётное число.
Пусть $k = 2(n-1)$, где $n$ — порядковый номер искомого числа ($n=1, 2, 3, \ldots$).
Тогда формула для $n$-го члена нашей последовательности, обозначим его $a_n$, будет:
$a_n = 3 \cdot (2(n-1)) + 1 = 6(n-1) + 1 = 6n - 6 + 1 = 6n - 5$.

Таким образом, мы ищем сумму первых 20 членов последовательности: $1, 7, 13, 19, \ldots$.
Эта последовательность является арифметической прогрессией, у которой:
первый член $a_1 = 1$;
разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 7 - 1 = 6$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:
$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

Нам нужно найти сумму двадцати первых членов, то есть $S_{20}$. Подставляем в формулу известные значения: $n=20$, $a_1=1$, $d=6$.
$S_{20} = \frac{20}{2}(2 \cdot 1 + (20-1) \cdot 6)$
$S_{20} = 10 \cdot (2 + 19 \cdot 6)$
$S_{20} = 10 \cdot (2 + 114)$
$S_{20} = 10 \cdot 116$
$S_{20} = 1160$

Ответ: 1160.