Номер 1030, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1030. Третий член арифметической прогрессии равен 11, а седьмой равен 27. Сколько надо взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма была равной 253?

Пусть данная арифметическая прогрессия обозначается как $a_n$. По условию задачи, ее третий член $a_3 = 11$, а седьмой член $a_7 = 27$.

Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$ и ее разности $d$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Составим систему уравнений на основе данных задачи:

$ \begin{cases} a_3 = a_1 + (3-1)d = 11 \\ a_7 = a_1 + (7-1)d = 27 \end{cases} \implies \begin{cases} a_1 + 2d = 11 \\ a_1 + 6d = 27 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам найти разность прогрессии $d$:
$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 27 - 11$
$4d = 16$
$d = 4$

Теперь, зная разность $d=4$, подставим ее значение в первое уравнение ($a_1 + 2d = 11$) для нахождения первого члена $a_1$:
$a_1 + 2 \cdot 4 = 11$
$a_1 + 8 = 11$
$a_1 = 3$

Мы определили, что первый член прогрессии $a_1=3$ и ее разность $d=4$.

Следующим шагом является нахождение количества членов прогрессии $n$, сумма которых $S_n$ равна 253. Для этого используется формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим в формулу известные значения $S_n=253$, $a_1=3$ и $d=4$:
$253 = \frac{2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 4}{2} \cdot n$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно $n$:
$253 = \frac{6 + 4n - 4}{2} \cdot n$
$253 = \frac{4n + 2}{2} \cdot n$
$253 = (2n + 1) \cdot n$
$2n^2 + n = 253$
$2n^2 + n - 253 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-253) = 1 + 2024 = 2025$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$.

Найдем корни уравнения для $n$ по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-1 + 45}{2 \cdot 2} = \frac{44}{4} = 11$
$n_2 = \frac{-1 - 45}{2 \cdot 2} = \frac{-46}{4} = -11.5$

Поскольку количество членов прогрессии $n$ является натуральным числом, отрицательный дробный корень $n_2 = -11.5$ не может быть решением задачи. Таким образом, подходит только $n_1 = 11$.

Ответ: 11