Номер 1026, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1026. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 12, а сумма их квадратов равна 80. Найдите эти числа.

Пусть три искомых числа, образующие арифметическую прогрессию, можно представить в виде $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 12. Составим первое уравнение:

$(a - d) + a + (a + d) = 12$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$3a = 12$

$a = \frac{12}{3}$

$a = 4$

Таким образом, средний член прогрессии равен 4.

Также по условию, сумма их квадратов равна 80. Составим второе уравнение:

$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 80$

Подставим найденное значение $a = 4$ в это уравнение:

$(4 - d)^2 + 4^2 + (4 + d)^2 = 80$

Раскроем квадраты, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(16 - 8d + d^2) + 16 + (16 + 8d + d^2) = 80$

Упростим выражение:

$16 - 8d + d^2 + 16 + 16 + 8d + d^2 = 80$

$48 + 2d^2 = 80$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$2d^2 = 80 - 48$

$2d^2 = 32$

$d^2 = 16$

Отсюда находим два возможных значения для разности прогрессии $d$:

$d_1 = 4$ и $d_2 = -4$

Теперь найдём сами числа для каждого из двух случаев.

Случай 1: Если $d = 4$, то числа равны:
Первое число: $a - d = 4 - 4 = 0$
Второе число: $a = 4$
Третье число: $a + d = 4 + 4 = 8$
Получаем прогрессию: 0, 4, 8.

Случай 2: Если $d = -4$, то числа равны:
Первое число: $a - d = 4 - (-4) = 8$
Второе число: $a = 4$
Третье число: $a + d = 4 + (-4) = 0$
Получаем прогрессию: 8, 4, 0.

В обоих случаях мы получили один и тот же набор чисел.

Проверка:
Сумма чисел: $0 + 4 + 8 = 12$.
Сумма квадратов чисел: $0^2 + 4^2 + 8^2 = 0 + 16 + 64 = 80$.
Условия задачи выполнены.

Ответ: искомые числа – 0, 4, 8.