Номер 1027, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1027. Докажите, что если числа $a$, $b$ и $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$, $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Пусть числа $a$, $b$ и $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. По определению арифметической прогрессии, это означает, что существует такое число $d$ (разность прогрессии), что $a = b - d$ и $c = b + d$.

Чтобы доказать, что значения выражений $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, мы должны показать, что разность между вторым и первым выражениями равна разности между третьим и вторым.

Обозначим данные выражения как $X_1$, $X_2$ и $X_3$ и подставим в них выражения для $a$ и $c$ через $b$ и $d$.

Первый член:
$X_1 = a^2 + ab + b^2 = (b-d)^2 + (b-d)b + b^2$
$= (b^2 - 2bd + d^2) + (b^2 - bd) + b^2$
$= 3b^2 - 3bd + d^2$

Второй член:
$X_2 = a^2 + ac + c^2 = (b-d)^2 + (b-d)(b+d) + (b+d)^2$
$= (b^2 - 2bd + d^2) + (b^2 - d^2) + (b^2 + 2bd + d^2)$
$= 3b^2 + d^2$

Третий член:
$X_3 = b^2 + bc + c^2 = b^2 + b(b+d) + (b+d)^2$
$= b^2 + (b^2 + bd) + (b^2 + 2bd + d^2)$
$= 3b^2 + 3bd + d^2$

Теперь найдем разности между соседними членами полученной последовательности $X_1, X_2, X_3$.

Разность между вторым и первым членами:
$X_2 - X_1 = (3b^2 + d^2) - (3b^2 - 3bd + d^2)$
$= 3b^2 + d^2 - 3b^2 + 3bd - d^2$
$= 3bd$

Разность между третьим и вторым членами:
$X_3 - X_2 = (3b^2 + 3bd + d^2) - (3b^2 + d^2)$
$= 3b^2 + 3bd + d^2 - 3b^2 - d^2$
$= 3bd$

Поскольку разности $X_2 - X_1$ и $X_3 - X_2$ равны ($3bd$), это доказывает, что выражения $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью, равной $3bd$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.