Номер 1025, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1025. Известно, что бесконечная последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$ является арифметической прогрессией с разностью $d \neq 0$. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

1) $-a_2, -a_4, -a_6, -a_8, \dots$;

2) $a_1 + 5, a_2 + 5, a_3 + 5, \dots$;

3) $1 - a_1, 1 - a_2, 1 - a_3, \dots$;

4) $a_1^2, a_2^2, a_3^2, \dots$;

5) $a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_4, \dots$;

6) $a_1 + a_2, a_3 + a_4, a_5 + a_6, \dots$?

В случае утвердительного ответа укажите, чему равна разность прогрессии.

Дано, что последовательность $a_1, a_2, a_3, ...$ является арифметической прогрессией с разностью $d \ne 0$. Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$. Более общо, $a_k = a_m + (k-m)d$ для любых натуральных $k$ и $m$.

1) $-a_2, -a_4, -a_6, -a_8, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n$. Тогда $b_n = -a_{2n}$. Найдем разность между соседними членами: $b_{n+1} - b_n$. $b_{n+1} = -a_{2(n+1)} = -a_{2n+2}$. Разность равна $b_{n+1} - b_n = (-a_{2n+2}) - (-a_{2n}) = a_{2n} - a_{2n+2}$. Так как $a_{2n+2} = a_{2n} + ((2n+2) - 2n)d = a_{2n} + 2d$, то разность равна $a_{2n} - (a_{2n} + 2d) = -2d$. Разность постоянна и не зависит от $n$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $-2d$.

2) $a_1 + 5, a_2 + 5, a_3 + 5, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = a_n + 5$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + 5) - (a_n + 5) = a_{n+1} - a_n$. По определению исходной арифметической прогрессии, $a_{n+1} - a_n = d$. Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $d$.

3) $1 - a_1, 1 - a_2, 1 - a_3, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = 1 - a_n$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n = (1 - a_{n+1}) - (1 - a_n) = 1 - a_{n+1} - 1 + a_n = a_n - a_{n+1} = -(a_{n+1} - a_n) = -d$. Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $-d$.

4) $a_1^2, a_2^2, a_3^2, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = a_n^2$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n = a_{n+1}^2 - a_n^2$. Используя $a_{n+1} = a_n + d$, получаем $b_{n+1} - b_n = (a_n + d)^2 - a_n^2 = a_n^2 + 2a_nd + d^2 - a_n^2 = 2a_nd + d^2$. Разность $2a_nd + d^2$ зависит от $a_n$, а значит, и от номера члена $n$ (поскольку $d \ne 0$, последовательность $a_n$ не является постоянной). Например, если $a_n = n$ (тогда $d=1$), последовательность $b_n$ будет $1^2, 2^2, 3^2, ...$, т.е. $1, 4, 9, ...$. Разности между членами равны $4-1=3$, $9-4=5$, и они не постоянны. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

5) $a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_4, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = a_n + a_{n+1}$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + a_{n+2}) - (a_n + a_{n+1}) = a_{n+2} - a_n$. Так как $a_{n+2} = a_n + (n+2-n)d = a_n + 2d$, разность равна $(a_n + 2d) - a_n = 2d$. Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $2d$.

6) $a_1 + a_2, a_3 + a_4, a_5 + a_6, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = a_{2n-1} + a_{2n}$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$. $b_{n+1} = a_{2(n+1)-1} + a_{2(n+1)} = a_{2n+1} + a_{2n+2}$. Разность равна $b_{n+1} - b_n = (a_{2n+1} + a_{2n+2}) - (a_{2n-1} + a_{2n})$. Сгруппируем слагаемые: $(a_{2n+1} - a_{2n-1}) + (a_{2n+2} - a_{2n})$. Вычислим каждую скобку: $a_{2n+1} - a_{2n-1} = ((2n+1) - (2n-1))d = 2d$. $a_{2n+2} - a_{2n} = ((2n+2) - 2n)d = 2d$. Итоговая разность равна $2d + 2d = 4d$. Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $4d$.