Номер 1028, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1028. Докажите, что если:

1) длины сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника образуют арифметическую прогрессию, то $ac = 6Rr$, где $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника;

2) длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то её разность равна радиусу вписанной окружности этого треугольника;

3) длины сторон треугольника с углом $120^\circ$ образуют арифметическую прогрессию, то они относятся как $3 : 5 : 7$.

1)

Пусть длины сторон треугольника $a$, $b$ и $c$ образуют арифметическую прогрессию. Без ограничения общности, упорядочим их: $a \le b \le c$. Тогда их можно представить в виде $b-d, b, b+d$ для некоторой разности $d \ge 0$. Таким образом, $a = b-d$ и $c = b+d$.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: $a+c = (b-d) + (b+d) = 2b$.

Используем известные формулы для радиусов вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей:

$S = pr$ и $S = \frac{abc}{4R}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Выразим полупериметр $p$ через сторону $b$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{(a+c)+b}{2} = \frac{2b+b}{2} = \frac{3b}{2}$

Теперь выразим площадь $S$ через $b$ и $r$:

$S = pr = \frac{3b}{2}r$

Приравняем два выражения для площади:

$\frac{abc}{4R} = \frac{3br}{2}$

Поскольку $b$ — длина стороны, $b > 0$, мы можем сократить обе части на $b$:

$\frac{ac}{4R} = \frac{3r}{2}$

Выразим отсюда произведение $ac$:

$ac = \frac{3r}{2} \cdot 4R = 6Rr$

Равенство $ac = 6Rr$ доказано.

Ответ: Равенство $ac = 6Rr$ доказано.

2)

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью $d > 0$. Обозначим стороны как $a-d, a, a+d$.

В прямоугольном треугольнике наибольшая сторона является гипотенузой. Следовательно, гипотенуза равна $a+d$, а катеты равны $a-d$ и $a$.

По теореме Пифагора:

$(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2$

Раскроем скобки:

$a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$

Упростим выражение:

$2a^2 - 2ad + d^2 = a^2 + 2ad + d^2$

$a^2 - 4ad = 0$

$a(a - 4d) = 0$

Поскольку $a$ — это длина стороны, $a > 0$. Значит, $a - 4d = 0$, откуда $a = 4d$.

Теперь найдем длины сторон треугольника, выразив их через $d$:

• Первый катет: $a-d = 4d-d = 3d$
• Второй катет: $a = 4d$
• Гипотенуза: $a+d = 4d+d = 5d$

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{\text{катет}_1 + \text{катет}_2 - \text{гипотенуза}}{2}$.

Подставим наши значения:

$r = \frac{3d + 4d - 5d}{2} = \frac{2d}{2} = d$

Таким образом, разность арифметической прогрессии $d$ равна радиусу вписанной окружности $r$.

Ответ: Разность прогрессии равна радиусу вписанной окружности этого треугольника.

3)

Пусть длины сторон треугольника $x, y, z$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d > 0$. Обозначим их как $a-d, a, a+d$.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Угол $120^\circ$ является тупым, и, следовательно, наибольшим в треугольнике. Значит, он лежит против наибольшей стороны, равной $a+d$.

Применим теорему косинусов. Пусть $x = a-d$, $y = a$, $z = a+d$, а угол, противолежащий стороне $z$, равен $\gamma = 120^\circ$.

$z^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos(\gamma)$

Подставим наши значения:

$(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 - 2(a-d)a \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 - 2(a-d)a \left(-\frac{1}{2}\right)$

$(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 + a(a-d)$

Раскроем скобки и упростим:

$a^2 + 2ad + d^2 = a^2 - 2ad + d^2 + a^2 + a^2 - ad$

$a^2 + 2ad + d^2 = 3a^2 - 3ad + d^2$

Перенесем члены уравнения:

$2ad + 3ad = 3a^2 - a^2$

$5ad = 2a^2$

Поскольку $a$ — это длина стороны, $a > 0$, мы можем разделить обе части на $a$:

$5d = 2a \implies a = \frac{5}{2}d$

Теперь найдем длины сторон через $d$:

• Первая сторона: $x = a-d = \frac{5}{2}d - d = \frac{3}{2}d$
• Вторая сторона: $y = a = \frac{5}{2}d$
• Третья сторона: $z = a+d = \frac{5}{2}d + d = \frac{7}{2}d$

Найдем отношение длин сторон:

$x:y:z = \frac{3}{2}d : \frac{5}{2}d : \frac{7}{2}d$

Сократив на общий множитель $\frac{d}{2}$, получим:

$3:5:7$

Ответ: Длины сторон треугольника относятся как 3:5:7.