Номер 1023, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1023. Найдите величины углов выпуклого четырёхугольника, если они образуют арифметическую прогрессию с разностью $54^{\circ}$.

1023.

Пусть четыре угла выпуклого четырехугольника являются последовательными членами арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, a_4$. Сумма углов выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$.

По условию задачи, разность этой прогрессии $d = 54^\circ$. Мы можем выразить все углы через первый (наименьший) член прогрессии $a_1$:

Первый угол: $a_1$
Второй угол: $a_2 = a_1 + d = a_1 + 54^\circ$
Третий угол: $a_3 = a_1 + 2d = a_1 + 2 \cdot 54^\circ = a_1 + 108^\circ$
Четвертый угол: $a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 3 \cdot 54^\circ = a_1 + 162^\circ$

Составим уравнение, исходя из того, что сумма углов равна $360^\circ$:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 360^\circ$

Подставим выражения для углов в это уравнение:

$a_1 + (a_1 + 54^\circ) + (a_1 + 108^\circ) + (a_1 + 162^\circ) = 360^\circ$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$4a_1 + (54^\circ + 108^\circ + 162^\circ) = 360^\circ$

$4a_1 + 324^\circ = 360^\circ$

Теперь решим уравнение относительно $a_1$:

$4a_1 = 360^\circ - 324^\circ$

$4a_1 = 36^\circ$

$a_1 = \frac{36^\circ}{4} = 9^\circ$

Мы нашли величину первого, самого маленького угла. Теперь найдем остальные углы:

$a_1 = 9^\circ$
$a_2 = 9^\circ + 54^\circ = 63^\circ$
$a_3 = 63^\circ + 54^\circ = 117^\circ$
$a_4 = 117^\circ + 54^\circ = 171^\circ$

Все найденные углы меньше $180^\circ$, что соответствует условию о выпуклости четырехугольника. Проверка суммы: $9^\circ + 63^\circ + 117^\circ + 171^\circ = 360^\circ$.

Ответ: углы четырехугольника равны $9^\circ, 63^\circ, 117^\circ, 171^\circ$.