Номер 1017, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1017. Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = n^2 - 4n + 4$.
Найдите шесть первых членов этой последовательности. Является ли членом этой последовательности число: 1) 256; 2) 361; 3) 1000; 4) 10 000? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Данная последовательность $(a_n)$ задана формулой n-го члена $a_n = n^2 - 4n + 4$.

1. Найдем шесть первых членов этой последовательности.

Для нахождения членов последовательности можно подставлять номер члена $n$ в заданную формулу. Упростим формулу, заметив, что выражение $n^2 - 4n + 4$ является полным квадратом разности:
$a_n = n^2 - 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2 = (n-2)^2$.

Теперь вычислим первые шесть членов, подставляя в формулу $a_n = (n-2)^2$ значения $n$ от 1 до 6:
$a_1 = (1-2)^2 = (-1)^2 = 1$
$a_2 = (2-2)^2 = 0^2 = 0$
$a_3 = (3-2)^2 = 1^2 = 1$
$a_4 = (4-2)^2 = 2^2 = 4$
$a_5 = (5-2)^2 = 3^2 = 9$
$a_6 = (6-2)^2 = 4^2 = 16$

Ответ: Первые шесть членов последовательности: 1, 0, 1, 4, 9, 16.

2. Проверим, являются ли данные числа членами этой последовательности.

Чтобы некоторое число $x$ было членом последовательности, должно существовать такое натуральное число $n$ (номер члена), что $a_n = x$. Используя упрощенную формулу, мы должны решить уравнение $(n-2)^2 = x$ и проверить, есть ли среди его корней натуральные числа.

1) 256

Решим уравнение $(n-2)^2 = 256$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $n-2 = \pm\sqrt{256}$, то есть $n-2 = \pm16$.
Рассмотрим два случая:
1) $n-2 = 16 \Rightarrow n = 16 + 2 = 18$
2) $n-2 = -16 \Rightarrow n = -16 + 2 = -14$
Поскольку номер члена $n$ должен быть натуральным числом, нам подходит только корень $n=18$.
Ответ: Да, является. Номер этого члена 18.

2) 361

Решим уравнение $(n-2)^2 = 361$.
$n-2 = \pm\sqrt{361}$, то есть $n-2 = \pm19$.
Рассмотрим два случая:
1) $n-2 = 19 \Rightarrow n = 19 + 2 = 21$
2) $n-2 = -19 \Rightarrow n = -19 + 2 = -17$
Натуральным является только корень $n=21$.
Ответ: Да, является. Номер этого члена 21.

3) 1000

Проверим уравнение $(n-2)^2 = 1000$.
Чтобы $n$ было целым числом, необходимо, чтобы 1000 было полным квадратом целого числа. Однако $\sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$, что не является целым числом. Следовательно, уравнение не имеет целых решений для $n$, а значит, и натуральных.
Ответ: Нет, не является.

4) 10 000

Решим уравнение $(n-2)^2 = 10000$.
$n-2 = \pm\sqrt{10000}$, то есть $n-2 = \pm100$.
Рассмотрим два случая:
1) $n-2 = 100 \Rightarrow n = 100 + 2 = 102$
2) $n-2 = -100 \Rightarrow n = -100 + 2 = -98$
Натуральным является только корень $n=102$.
Ответ: Да, является. Номер этого члена 102.