Страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1013. Из 28 костяшек домино наугад выбирают одну и вычисляют сумму очков на ней (на рис. 118 изображена костяшка, сумма очков на которой равна 10). Какова вероятность выбрать костяшку, сумма очков на которой равна:

Рис. 118

1) 5;

2) 6;

3) 8;

4) 12;

5) 14?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. В стандартном наборе домино 28 костяшек, поэтому общее число исходов при выборе одной костяшки наугад $n = 28$.

1) 5;

Найдем количество костяшек, сумма очков на которых равна 5. Это костяшки со следующими парами очков: (0, 5), (1, 4) и (2, 3). Всего 3 таких костяшки. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 3$. Вероятность данного события равна $P = \frac{3}{28}$.

Ответ: $\frac{3}{28}$.

2) 6;

Найдем количество костяшек, сумма очков на которых равна 6. Это костяшки со следующими парами очков: (0, 6), (1, 5), (2, 4) и (3, 3). Всего 4 таких костяшки. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 4$. Вероятность данного события равна $P = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

3) 8;

Найдем количество костяшек, сумма очков на которых равна 8. Это костяшки со следующими парами очков: (2, 6), (3, 5) и (4, 4). Всего 3 таких костяшки. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 3$. Вероятность данного события равна $P = \frac{3}{28}$.

Ответ: $\frac{3}{28}$.

4) 12;

Найдем количество костяшек, сумма очков на которых равна 12. Существует только одна такая костяшка — дубль (6, 6). Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 1$. Вероятность данного события равна $P = \frac{1}{28}$.

Ответ: $\frac{1}{28}$.

5) 14?

Найдем количество костяшек, сумма очков на которых равна 14. Максимальное количество очков на одной половинке костяшки равно 6. Следовательно, максимальная возможная сумма очков на одной костяшке равна $6 + 6 = 12$. Получить сумму 14 невозможно. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 0$. Вероятность данного события равна $P = \frac{0}{28} = 0$.

Ответ: $0$.

1014.Бросают одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут:

1) числа, сумма которых равна 9;

2) числа, сумма которых меньше 7?

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов при броске двух игральных кубиков. У каждого кубика 6 граней (с числами от 1 до 6). Поскольку кубики бросают одновременно и их результаты независимы, общее число комбинаций $N$ равно произведению числа исходов для каждого кубика.

$N = 6 \times 6 = 36$

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ – число благоприятных исходов, а $N$ – общее число исходов.

Найдем количество благоприятных исходов ($m_1$), при которых сумма выпавших чисел равна 9. Перечислим все подходящие пары чисел (результат первого кубика, результат второго кубика):

• 3 и 6
• 4 и 5
• 5 и 4
• 6 и 3

Всего получилось 4 благоприятных исхода: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3). Таким образом, $m_1 = 4$.

Теперь вычислим вероятность $P_1$:

$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

Найдем количество благоприятных исходов ($m_2$), при которых сумма выпавших чисел меньше 7. Это значит, что сумма может быть равна 2, 3, 4, 5 или 6. Перечислим все подходящие комбинации:

• Сумма 2: (1, 1) – 1 исход
• Сумма 3: (1, 2), (2, 1) – 2 исхода
• Сумма 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) – 3 исхода
• Сумма 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) – 4 исхода
• Сумма 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) – 5 исходов

Сложим количество исходов для каждой суммы, чтобы найти общее число благоприятных исходов $m_2$:

$m_2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

Теперь вычислим вероятность $P_2$:

$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$

1015. В течение первых десяти дней мая температура воздуха в 6 ч утра была такой: 16 °C; 14 °C; 12 °C; 16 °C; 15 °C; 15 °C; 15 °C; 13 °C; 15 °C; 17 °C; 14 °C. Найдите меры центральной тенденции полученной совокупности данных. Заполните частотную таблицу.

Температура воздуха

Частота

Относительная частота, %

Для анализа представленной совокупности данных и нахождения мер центральной тенденции, первым делом упорядочим (ранжируем) ряд температурных значений по возрастанию.

Исходный ряд: 16, 14, 12, 16, 15, 15, 13, 15, 17, 14.

Упорядоченный ряд: 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17.

Общее количество наблюдений в ряду $n = 10$.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое (или среднее значение) — это сумма всех значений в наборе данных, деленная на их количество. Вычислим сумму всех температур:

$12 + 13 + 14 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 = 147$ °C.

Теперь разделим сумму на количество наблюдений:

$\bar{x} = \frac{147}{10} = 14,7$ °C.

Ответ: среднее арифметическое равно 14,7 °C.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Поскольку количество наблюдений в ряду четное ($n=10$), медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных значений.

Наш упорядоченный ряд: 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17.

Пятое и шестое значения в ряду являются центральными, и оба равны 15 °C.

Медиана: $Me = \frac{15 + 15}{2} = 15$ °C.

Ответ: медиана равна 15 °C.

Мода

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных наиболее часто. Проанализируем частоту каждого значения:

• 12 °C - 1 раз
• 13 °C - 1 раз
• 14 °C - 2 раза
• 15 °C - 3 раза
• 16 °C - 2 раза
• 17 °C - 1 раз

Наибольшая частота (3 раза) у значения 15 °C.

Ответ: мода равна 15 °C.

Частотная таблица

Для заполнения таблицы необходимо определить частоту и относительную частоту для каждого уникального значения температуры. Частота — это количество повторений значения. Относительная частота — это доля данного значения в общем объеме данных, выраженная в процентах. Она вычисляется по формуле: $(\frac{\text{Частота}}{n}) \times 100\%$.

Ответ: частотная таблица заполнена.

1016. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах выборки:

1) $4, 6, 12, 15, 15, 18, 18, 20, 27, 30, 36, 39;$

2) $3,2; 3,2; 3,4; 4,2; 4,2; 4,6; 4,6; 4,6; 5,8.$

1)

Дана выборка: 4, 6, 12, 15, 15, 18, 18, 20, 27, 30, 36, 39.

Ряд уже упорядочен по возрастанию. Количество элементов в выборке $n=12$.

Среднее значение – это сумма всех чисел выборки, деленная на их количество.
Сумма чисел: $4 + 6 + 12 + 15 + 15 + 18 + 18 + 20 + 27 + 30 + 36 + 39 = 240$.
Среднее значение: $\frac{240}{12} = 20$.

Мода – это значение в выборке, которое встречается чаще всего.
В данной выборке числа 15 и 18 встречаются по два раза, чаще чем остальные. Следовательно, у выборки две моды: 15 и 18.

Медиана – это число, которое находится в середине упорядоченной выборки.
Так как в выборке четное количество элементов ($n=12$), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (6-го и 7-го).
Медиана: $\frac{18 + 18}{2} = 18$.

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
Размах: $39 - 4 = 35$.

Ответ: среднее значение – 20; мода – 15 и 18; медиана – 18; размах – 35.

2)

Дана выборка: 3,2; 3,2; 3,4; 4,2; 4,2; 4,6; 4,6; 4,6; 5,8.

Ряд уже упорядочен по возрастанию. Количество элементов в выборке $n=9$.

Среднее значение – это сумма всех чисел выборки, деленная на их количество.
Сумма чисел: $3,2 + 3,2 + 3,4 + 4,2 + 4,2 + 4,6 + 4,6 + 4,6 + 5,8 = 37,8$.
Среднее значение: $\frac{37,8}{9} = 4,2$.

Мода – это значение в выборке, которое встречается чаще всего.
Число 4,6 встречается три раза, чаще чем остальные числа. Мода выборки равна 4,6.

Медиана – это число, которое находится в середине упорядоченной выборки.
Так как в выборке нечетное количество элементов ($n=9$), медиана равна центральному элементу. Его номер: $\frac{9+1}{2} = 5$.
Пятый элемент ряда — 4,2. Медиана равна 4,2.

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
Размах: $5,8 - 3,2 = 2,6$.

Ответ: среднее значение – 4,2; мода – 4,6; медиана – 4,2; размах – 2,6.

1017. Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = n^2 - 4n + 4$.
Найдите шесть первых членов этой последовательности. Является ли членом этой последовательности число: 1) 256; 2) 361; 3) 1000; 4) 10 000? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Данная последовательность $(a_n)$ задана формулой n-го члена $a_n = n^2 - 4n + 4$.

1. Найдем шесть первых членов этой последовательности.

Для нахождения членов последовательности можно подставлять номер члена $n$ в заданную формулу. Упростим формулу, заметив, что выражение $n^2 - 4n + 4$ является полным квадратом разности:
$a_n = n^2 - 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2 = (n-2)^2$.

Теперь вычислим первые шесть членов, подставляя в формулу $a_n = (n-2)^2$ значения $n$ от 1 до 6:
$a_1 = (1-2)^2 = (-1)^2 = 1$
$a_2 = (2-2)^2 = 0^2 = 0$
$a_3 = (3-2)^2 = 1^2 = 1$
$a_4 = (4-2)^2 = 2^2 = 4$
$a_5 = (5-2)^2 = 3^2 = 9$
$a_6 = (6-2)^2 = 4^2 = 16$

Ответ: Первые шесть членов последовательности: 1, 0, 1, 4, 9, 16.

2. Проверим, являются ли данные числа членами этой последовательности.

Чтобы некоторое число $x$ было членом последовательности, должно существовать такое натуральное число $n$ (номер члена), что $a_n = x$. Используя упрощенную формулу, мы должны решить уравнение $(n-2)^2 = x$ и проверить, есть ли среди его корней натуральные числа.

1) 256

Решим уравнение $(n-2)^2 = 256$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $n-2 = \pm\sqrt{256}$, то есть $n-2 = \pm16$.
Рассмотрим два случая:
1) $n-2 = 16 \Rightarrow n = 16 + 2 = 18$
2) $n-2 = -16 \Rightarrow n = -16 + 2 = -14$
Поскольку номер члена $n$ должен быть натуральным числом, нам подходит только корень $n=18$.
Ответ: Да, является. Номер этого члена 18.

2) 361

Решим уравнение $(n-2)^2 = 361$.
$n-2 = \pm\sqrt{361}$, то есть $n-2 = \pm19$.
Рассмотрим два случая:
1) $n-2 = 19 \Rightarrow n = 19 + 2 = 21$
2) $n-2 = -19 \Rightarrow n = -19 + 2 = -17$
Натуральным является только корень $n=21$.
Ответ: Да, является. Номер этого члена 21.

3) 1000

Проверим уравнение $(n-2)^2 = 1000$.
Чтобы $n$ было целым числом, необходимо, чтобы 1000 было полным квадратом целого числа. Однако $\sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$, что не является целым числом. Следовательно, уравнение не имеет целых решений для $n$, а значит, и натуральных.
Ответ: Нет, не является.

4) 10 000

Решим уравнение $(n-2)^2 = 10000$.
$n-2 = \pm\sqrt{10000}$, то есть $n-2 = \pm100$.
Рассмотрим два случая:
1) $n-2 = 100 \Rightarrow n = 100 + 2 = 102$
2) $n-2 = -100 \Rightarrow n = -100 + 2 = -98$
Натуральным является только корень $n=102$.
Ответ: Да, является. Номер этого члена 102.

1018. Найдите количество членов конечной арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 4$, разность прогрессии $d = -5$, а последний член прогрессии равен $-36$.

Для нахождения количества членов конечной арифметической прогрессии $(a_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — её первый член, $d$ — разность, а $n$ — искомое количество членов.

По условию задачи нам даны следующие значения:первый член $a_1 = 4$,разность прогрессии $d = -5$и последний член прогрессии $a_n = -36$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы составить уравнение для нахождения $n$:

$-36 = 4 + (n-1) \cdot (-5)$

Теперь решим это уравнение. Сначала перенесем 4 в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$-36 - 4 = (n-1) \cdot (-5)$

$-40 = (n-1) \cdot (-5)$

Далее разделим обе части уравнения на разность прогрессии, то есть на -5:

$n - 1 = \frac{-40}{-5}$

$n - 1 = 8$

Наконец, найдем $n$, перенеся -1 в правую часть уравнения:

$n = 8 + 1$

$n = 9$

Таким образом, в данной конечной арифметической прогрессии 9 членов.

Ответ: 9

1019. Последний член арифметической прогрессии, содержащей семь членов, равен $3\frac{1}{6}$. Найдите первый член этой прогрессии, если её разность равна $\frac{3}{8}$.

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — её первый член, $n$ — номер члена, а $d$ — разность прогрессии.

Из условия задачи нам даны:

Общее количество членов прогрессии: $n = 7$.

Последний, то есть седьмой член: $a_7 = 3\frac{1}{6}$.

Разность прогрессии: $d = \frac{3}{8}$.

Подставим известные значения в формулу для $a_7$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$3\frac{1}{6} = a_1 + 6 \cdot \frac{3}{8}$

Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{6}$ в неправильную дробь для удобства вычислений:

$3\frac{1}{6} = \frac{3 \times 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$\frac{19}{6} = a_1 + \frac{6 \cdot 3}{8}$

$\frac{19}{6} = a_1 + \frac{18}{8}$

Сократим дробь $\frac{18}{8}$ на 2:

$\frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

Получаем уравнение:

$\frac{19}{6} = a_1 + \frac{9}{4}$

Выразим из него $a_1$:

$a_1 = \frac{19}{6} - \frac{9}{4}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 — это 12.

$a_1 = \frac{19 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{38}{12} - \frac{27}{12}$

$a_1 = \frac{38 - 27}{12} = \frac{11}{12}$

Ответ: $\frac{11}{12}$

1020. Какой номер имеет первый отрицательный член арифметической прогрессии 2; 1,9; 1,8; 1,7; ...?

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой $a_1 = 2$, $a_2 = 1,9$, $a_3 = 1,8$ и так далее.

Для начала определим разность арифметической прогрессии $d$. Разность вычисляется как разница между последующим и предыдущим членом прогрессии.
$d = a_2 - a_1 = 1,9 - 2 = -0,1$.

Нам необходимо найти номер $n$ первого члена прогрессии, который будет отрицательным. То есть, мы ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $a_n < 0$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения $a_1 = 2$ и $d = -0,1$ в эту формулу и составим неравенство:
$2 + (n-1)(-0,1) < 0$.

Теперь решим это неравенство относительно $n$:
$2 - 0,1(n-1) < 0$
$2 - 0,1n + 0,1 < 0$
$2,1 - 0,1n < 0$
$2,1 < 0,1n$
Чтобы найти $n$, разделим обе части неравенства на 0,1:
$\frac{2,1}{0,1} < n$
$21 < n$.

Таким образом, номер члена прогрессии $n$ должен быть строго больше 21. Поскольку $n$ — это порядковый номер, он должен быть целым числом. Наименьшее целое число, которое больше 21, это 22.

Следовательно, первый отрицательный член этой арифметической прогрессии имеет номер 22.

Ответ: 22.

1021. Какие номера имеют члены арифметической прогрессии 8, 11, 14, ..., большие 100, но меньшие 200?

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с членами 8, 11, 14, ...

Первый член прогрессии $a_1 = 8$.

Найдем разность прогрессии $d$, вычитая из последующего члена предыдущий:
$d = a_2 - a_1 = 11 - 8 = 3$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1)d$.
Подставив наши значения, получим:
$a_n = 8 + (n - 1) \cdot 3 = 8 + 3n - 3 = 3n + 5$.

Нам нужно найти номера $n$ тех членов прогрессии, которые больше 100, но меньше 200. Это можно выразить с помощью двойного неравенства:
$100 < a_n < 200$.

Подставим в неравенство полученную формулу для $a_n$:
$100 < 3n + 5 < 200$.

Для решения этого неравенства сначала вычтем 5 из всех его частей:
$100 - 5 < 3n < 200 - 5$
$95 < 3n < 195$.

Теперь разделим все части неравенства на 3:
$\frac{95}{3} < n < \frac{195}{3}$
$31\frac{2}{3} < n < 65$.

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, нам нужно найти все целые числа, лежащие в интервале от $31\frac{2}{3}$ до 65.
Наименьшее целое число, большее $31\frac{2}{3}$, это 32.
Наибольшее целое число, меньшее 65, это 64.
Следовательно, искомые номера $n$ — это все целые числа от 32 до 64 включительно.

Ответ: искомые члены прогрессии имеют номера с 32-го по 64-й включительно.