Страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1041. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если:

1) сумма прогрессии равна 4, а знаменатель равен $\frac{1}{2}$;

2) сумма прогрессии равна $\sqrt{2} + 1$, а знаменатель равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) сумма прогрессии равна $\frac{16}{3}$, а сумма пяти первых членов равна 5,5.

1) Для нахождения первого члена бесконечной геометрической прогрессии $b_1$ используется формула ее суммы $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $q$ - знаменатель прогрессии. Эта формула применима, если $|q| < 1$. В данном случае $q = \frac{1}{2}$, и условие $|q| < 1$ выполняется.
Выразим первый член $b_1$ из формулы:
$b_1 = S \cdot (1 - q)$
Подставим известные значения: сумма $S = 4$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
$b_1 = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: 2.

2) Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся формулой $b_1 = S \cdot (1 - q)$.
Сначала проверим условие сходимости прогрессии: $|q| < 1$.
Здесь $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $q \approx \frac{1.414}{2} = 0.707$. Следовательно, $|q| < 1$, и формула суммы применима.
Подставим известные значения: $S = \sqrt{2} + 1$ и $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$b_1 = (\sqrt{2} + 1) \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$
Раскроем скобки:
$b_1 = \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - \frac{2}{2} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$b_1 = \sqrt{2} - 1 + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$b_1 = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) В этой задаче нам известны сумма бесконечной прогрессии $S = \frac{16}{3}$ и сумма первых пяти ее членов $S_5 = 5,5 = \frac{11}{2}$. Для нахождения $b_1$ сначала нужно определить знаменатель прогрессии $q$.
Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Заметим, что $S_n$ можно выразить через $S$: $S_n = S \cdot (1 - q^n)$.
Подставим в это соотношение известные значения $S_5$ и $S$:
$\frac{11}{2} = \frac{16}{3} \cdot (1 - q^5)$
Выразим из этого уравнения скобку $(1 - q^5)$:
$1 - q^5 = \frac{11}{2} \div \frac{16}{3} = \frac{11}{2} \cdot \frac{3}{16} = \frac{33}{32}$
Теперь найдем $q^5$:
$q^5 = 1 - \frac{33}{32} = \frac{32 - 33}{32} = -\frac{1}{32}$
Извлекая корень пятой степени, находим $q$:
$q = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}} = -\frac{1}{2}$
Проверим условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Условие выполняется.
Теперь, зная $q$, мы можем найти $b_1$ из формулы для $S$:
$b_1 = S \cdot (1 - q) = \frac{16}{3} \cdot (1 - (-\frac{1}{2})) = \frac{16}{3} \cdot (1 + \frac{1}{2}) = \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Ответ: 8.

1042. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0.\overline{21}$;

2) $0.2\overline{3}$;

3) $2.\overline{7}$;

4) $0.\overline{19}$;

5) $0.\overline{901}$;

6) $1.0\overline{7}$.

В случае утвердительного ответа укажите, чему равен знаменатель этой прогрессии.

1) 0,(21)
Бесконечную периодическую дробь $0,(21)$ можно представить как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:$0,(21) = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \dots$Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,21$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{0,0021}{0,21} = 0,01 = \frac{1}{100}$.Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.Подставив значения, получим:$S = \frac{0,21}{1 - 0,01} = \frac{0,21}{0,99} = \frac{21}{99}$.Сократив дробь на 3, получим $\frac{7}{33}$.Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{7}{33}$.

2) 0,2(3)
Смешанную периодическую дробь $0,2(3)$ можно представить в виде суммы непериодической части и бесконечной периодической дроби:$0,2(3) = 0,2 + 0,0(3) = 0,2 + (0,03 + 0,003 + 0,0003 + \dots)$.Выражение в скобках является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,03$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{0,003}{0,03} = 0,1 = \frac{1}{10}$.Сумма этой прогрессии равна $S_{gp} = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,03}{1-0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.Исходное число равно: $0,2 + \frac{1}{30} = \frac{2}{10} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30} + \frac{1}{30} = \frac{7}{30}$.Знаменатель прогрессии, соответствующей периодической части, равен $\frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{30}$.

3) 2,(7)
Представим число $2,(7)$ как сумму целой части и периодической дроби: $2,(7) = 2 + 0,(7)$.Периодическую часть $0,(7)$ представим как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:$0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + \dots$Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,7$, а знаменатель $q = 0,1 = \frac{1}{10}$.Сумма прогрессии равна: $S_{gp} = \frac{0,7}{1 - 0,1} = \frac{0,7}{0,9} = \frac{7}{9}$.Исходное число равно: $2 + \frac{7}{9} = \frac{18}{9} + \frac{7}{9} = \frac{25}{9}$.Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{25}{9}$.

4) 0,(19)
Бесконечную периодическую дробь $0,(19)$ можно представить как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:$0,(19) = 0,19 + 0,0019 + 0,000019 + \dots$Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,19$, а знаменатель $q = \frac{0,0019}{0,19} = 0,01 = \frac{1}{100}$.Сумма прогрессии: $S = \frac{0,19}{1 - 0,01} = \frac{0,19}{0,99} = \frac{19}{99}$.Дробь несократимая, так как 19 - простое число.Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{19}{99}$.

5) 0,(901)
Бесконечную периодическую дробь $0,(901)$ можно представить как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:$0,(901) = 0,901 + 0,000901 + \dots$Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,901$, а знаменатель $q = 0,001 = \frac{1}{1000}$.Сумма прогрессии: $S = \frac{0,901}{1 - 0,001} = \frac{0,901}{0,999} = \frac{901}{999}$.Дробь несократимая, так как $999 = 3^3 \cdot 37$, а 901 не делится ни на 3, ни на 37.Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{1000}$.
Ответ: $\frac{901}{999}$.

6) 1,0(7)
Смешанную периодическую дробь $1,0(7)$ можно представить в виде суммы:$1,0(7) = 1 + 0,0(7) = 1 + (0,07 + 0,007 + 0,0007 + \dots)$.Выражение в скобках является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,07$, а знаменатель $q = \frac{0,007}{0,07} = 0,1 = \frac{1}{10}$.Сумма этой прогрессии равна: $S_{gp} = \frac{0,07}{1 - 0,1} = \frac{0,07}{0,9} = \frac{7}{90}$.Исходное число равно: $1 + \frac{7}{90} = \frac{90}{90} + \frac{7}{90} = \frac{97}{90}$.Дробь несократимая, так как 97 - простое число.Знаменатель прогрессии, соответствующей периодической части, равен $\frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{97}{90}$.

1043. Первый член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q$ таким, что $|q| < 1$, равен $6\sqrt{3}$, а её сумма равна $9(\sqrt{3} + 1)$. Найдите знаменатель прогрессии.

Для нахождения знаменателя бесконечной геометрической прогрессии воспользуемся формулой её суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ — это сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии, для которого выполняется условие $|q| < 1$.

Из условия задачи нам даны следующие значения:

• Первый член $b_1 = 6\sqrt{3}$
• Сумма прогрессии $S = 9(\sqrt{3} + 1)$

Подставим эти значения в формулу суммы:

$9(\sqrt{3} + 1) = \frac{6\sqrt{3}}{1 - q}$

Теперь выразим из этого уравнения множитель $(1 - q)$:

$1 - q = \frac{6\sqrt{3}}{9(\sqrt{3} + 1)}$

Сократим числовой коэффициент в дроби на 3:

$1 - q = \frac{2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3} + 1)}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} - 1)$:

$1 - q = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{3(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$

Выполним умножение. В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$1 - q = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 1}{3((\sqrt{3})^2 - 1^2)} = \frac{2 \cdot 3 - 2\sqrt{3}}{3(3 - 1)} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{6}$

Теперь разделим каждый член числителя на знаменатель:

$1 - q = \frac{6}{6} - \frac{2\sqrt{3}}{6} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Из полученного равенства $1 - q = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ следует, что:

$q = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $q \approx \frac{1.732}{3} \approx 0.577$. Это значение меньше 1, следовательно, условие выполняется.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.